É possível ter uma transformação linear
que seja injetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
que seja injetora. O que vamos usar é o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity) e a relação entre posto da transformação e dimensão do contradomínio.
Passo 2
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, para toda transformação linear
vale
Aqui
, logo
Além disso,
é injetora se, e somente se,
, o que implica
. Substituindo na soma acima, temos
Passo 3
Por definição de posto de
, sempre vale
Mas do passo anterior precisaríamos de
, e isso contradiz a desigualdade
.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição, não pode existir nenhuma transformação linear injetora de
em
.
Resposta
Não, não existe transformação linear
injetora, pois pelo teorema do núcleo e da imagem teríamos
, mas o posto de
não pode exceder
.