É possível ter uma transformação linear T: R^3 longrightarrow R^2 que seja injetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
T:R^3toR^2
que seja injetora. O que vamos usar é o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity) e a relação entre posto da transformação e dimensão do contradomínio.

Passo 2

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, para toda transformação linear T:Vto W vale
dim(V)=rank(T)+diml(ker(T)r)
Aqui V=R^3, logo
3=rank(T)+diml(ker(T)r)
Além disso, T é injetora se, e somente se, ker(T)=0, o que implica dim(ker(T))=0. Substituindo na soma acima, temos
3=rank(T)+0 Longrightarrow rank(T)=3

Passo 3

Por definição de posto de T, sempre vale
rank(T)<=diml(codomínior) =dim(R^2)=2 í
Mas do passo anterior precisaríamos de rank(T)=3, e isso contradiz a desigualdade rank(T)<=2.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição, não pode existir nenhuma transformação linear injetora de R^3 em R^2.

Resposta

Não, não existe transformação linear T:R^3toR^2 injetora, pois pelo teorema do núcleo e da imagem teríamos rank(T)=3, mas o posto de T não pode exceder dim(R^2)=2.

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