Exercício 16. Mostre que o espaço vetorial B(V^*, V ; R), das transformações bilineares da forma B: V^* times V longrightarrow R, é canonicamente isomorfo ao espaço V otimes V^* e exiba um isomorfismo. Como consequência, temos identificações canônicas
L(V ; V) simeq B(V^*, V ; R) simeq V otimes V^*

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço das aplicações bilineares
B(V^*,V;R)
é canonicamente isomorfo ao tensor Votimes V^*.
O que vamos usar é a construção universal do produto tensorial e a identificação, em bases, de bilineares e tensores.

Passo 2

Definimos uma aplicação
Phi colon Votimes V^*;longrightarrow;B(V^*,V;R)
de modo a enviar cada tensor puro votimesalpha em uma bilinear
Phi(votimesalpha) dada por
l[Phi(votimesalpha)r](omega,x) =omega(v),alpha(x),
para todo omegain V^* e xin V.
Vamos estender essa regra por linearidade a todo Votimes V^*.

Passo 3

Mostramos que Phi é um isomorfismo de espaços vetoriais:
  1. Linearidade de Phi decorre imediatamente da definição em tensores puros e extensão linear.
  2. Para ver que Phi é bijetiva, escolhemos uma base eii=1^n de V e a base dual e^ii=1^n de V^*.
    • Então ,eiotimes e^ji,j é base de Votimes V^*.
    • Definimos bilineares de referência Bij(omega,x)=omega(ei),e^j(x) O conjunto Biji,j é base de B(V^*,V;R).
    • Observamos que
      Phi(eiotimes e^j)=Bij,
      de modo que Phi envia uma base em outra base, logo é bijetiva.

Passo 4

Concluímos que
Phicolon Votimes V^*xrightarrow;simeq;B(V^*,V;R)
é um isomorfismo canônico.
Além disso, há um isomorfismo canônico
L(V;V)simeqB(V^*,V;R)
dado por
T;longmapsto;(omega,x)mapsto omegal(T(x)r)
Daí surgem as identificações
L(V;V);simeq;B(V^*,V;R) ;simeq;Votimes V^*

Resposta

O isomorfismo canônico
Phicolon Votimes V^*toB(V^*,V;R)
é dado em tensores puros por
Phi(votimesalpha)(omega,x)=omega(v),alpha(x)

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