Exercício 16. Mostre que o espaço vetorial , das transformações bilineares da forma , é canonicamente isomorfo ao espaço e exiba um isomorfismo. Como consequência, temos identificações canônicas
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço das aplicações bilineares
é canonicamente isomorfo ao tensor .
O que vamos usar é a construção universal do produto tensorial e a identificação, em bases, de bilineares e tensores.
Passo 2
Definimos uma aplicação
de modo a enviar cada tensor puro em uma bilinear dada por
para todo e .
Vamos estender essa regra por linearidade a todo .
Passo 3
Mostramos que é um isomorfismo de espaços vetoriais:
Linearidade de decorre imediatamente da definição em tensores puros e extensão linear.
Para ver que é bijetiva, escolhemos uma base de e a base dual de .
Então é base de .
Definimos bilineares de referênciaO conjunto é base de .
Observamos que ,
de modo que envia uma base em outra base, logo é bijetiva.
Passo 4
Concluímos que
é um isomorfismo canônico.
Além disso, há um isomorfismo canônico L(V;V)simeqB(V^*,V;R)
dado por
T;longmapsto;(omega,x)mapsto omegal(T(x)r)
Daí surgem as identificações
L(V;V);simeq;B(V^*,V;R) ;simeq;Votimes V^*
Resposta
O isomorfismo canônico Phicolon Votimes V^*toB(V^*,V;R)
é dado em tensores puros por