Em cada um dos itens a seguir, determine a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores dados.
(l1 1 1),(l1 2 3),(l2 3 1)

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores
v1=111,
v2=123,
v3=231.
Isso equivale a determinar o posto (rank) da matriz cujas colunas são esses vetores, ou seja, verificar se eles são linearmente independentes em R^3.

Passo 2

Formamos a matriz AinR^3times3 com esses vetores como colunas:
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 1 & 3 & 1
Se det(A)neq0, então as colunas são linearmente independentes e o subespaço gerado tem dimensão 3.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A desenvolvendo pela primeira linha:
det(A) =1cdot(2cdot1-3cdot3) -1cdot(1cdot1-3cdot1) +2cdot(1cdot3-2cdot1) =-7 -(-2) +2 =-7+2+2 =-3
Como det(A)=-3neq0, concluímos que as colunas de A são linearmente independentes.

Passo 4

Vetores linearmente independentes em R^3 formam uma base de dimensão 3, logo o subespaço gerado por v1,v2,v3 tem dimensão 3.

Resposta

A dimensão do subespaço é 3.

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