Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 abaixo são isomorfismos, em caso afirmativo encontre o isomorfismo inverso.
T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y);

Passo 1

O enunciado dá o operador linear Tcolon R^3to R^3 definido por
T(x,y,z)=(y+z,;x+z,;x+y)
e pede para verificar se é isomorfismo (ou seja, bijetivo) e, em caso afirmativo, encontrar T^-1. Para isso vamos usar a representação matricial no referencial canônico, calcular o determinante para checar invertibilidade e então obter a matriz inversa.

Passo 2

A matriz de em relação à base canônica é
pois

Passo 3

Calculamos o determinante de A para verificar se T é invertível:
det(A) =0cdotdet0&11&0 -1cdotdet1&11&0 +1cdotdet1&01&1 =0 -1(0-1)+1(1-0) =1+1=2neq0

Passo 4

Como det(A)=2neq0, a matriz A é invertível. Logo, T é um isomorfismo linear.

Passo 5

A inversa de A é dada por
A^-1=12 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 ,
o que pode ser verificado multiplicando-se A por essa matriz e conferindo que o produto é a identidade.

Passo 6

Da matriz extraímos a expressão de . Se , então
Isso leva a

Resposta

T é isomorfismo, e seu inverso é
T^-1(u,v,w) =l(tfrac-u+v+w2,;tfracu-v+w2,;tfracu+v-w2r)

Exercícios relacionados