Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução da equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
com a condição inicial
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(no domínio onde a solução é definida) e que atende à condição inicial.
Passo 2
Vamos pensar no que isso significa sem ainda resolver: temos uma derivada
proporcional à própria função
, com razão de proporcionalidade
. Isso sugere que precisamos encontrar uma função cuja taxa de variação é sempre
vezes o valor atual. Há vários métodos para resolver equações desse tipo; o mais direto e elementar é o método de separação de variáveis (ou reconhecer a forma de crescimento exponencial). Vou usar separação de variáveis porque é simples e funcional aqui.
Passo 3
Explicando o método de separação de variáveis: a ideia é reorganizar a equação para colocar todos os termos com
num lado e todos os termos com
no outro, e depois integrar. Partimos de
Assumimos
por enquanto (o caso
é solução separada que veremos). Dividindo por
e multiplicando por
obtemos
Isto é válido porque estamos apenas usando álgebra com a diferencial:
.
Passo 4
Agora integramos os dois lados. Lembre-se da integral de
: é o logaritmo natural. Assim,
Calculando as integrais obtemos
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário).
Passo 5
Isolamos
exponenciando ambos os lados. Aplicando a função exponencial:
Como
, podemos chamar
e escrever
. Isso nos dá duas possibilidades combinadas numa única forma geral:
onde
é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero). Observação: a solução identicamente zero
corresponde a
.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial para determinar
. A condição é
. Substituindo na forma geral:
Portanto
Passo 7
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que atende à condição inicial:
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcule a derivada
portanto a solução satisfaz a equação diferencial, e já conferimos que em
temos
.