Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
\frac{d y}{d t}=5 y, com y(0)=20.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução da equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
\frac{d y}{d t}=5y,
com a condição inicial
y(0)=20.
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t (no domínio onde a solução é definida) e que atende à condição inicial.

Passo 2

Vamos pensar no que isso significa sem ainda resolver: temos uma derivada \frac{d y}{d t} proporcional à própria função y, com razão de proporcionalidade 5. Isso sugere que precisamos encontrar uma função cuja taxa de variação é sempre 5 vezes o valor atual. Há vários métodos para resolver equações desse tipo; o mais direto e elementar é o método de separação de variáveis (ou reconhecer a forma de crescimento exponencial). Vou usar separação de variáveis porque é simples e funcional aqui.

Passo 3

Explicando o método de separação de variáveis: a ideia é reorganizar a equação para colocar todos os termos com y num lado e todos os termos com t no outro, e depois integrar. Partimos de
\frac{d y}{d t}=5y.
Assumimos y\neq 0 por enquanto (o caso y\equiv 0 é solução separada que veremos). Dividindo por y e multiplicando por dt obtemos
\frac{1}{y}\,dy=5\,dt.
Isto é válido porque estamos apenas usando álgebra com a diferencial: \frac{d y}{d t}\,dt = dy.

Passo 4

Agora integramos os dois lados. Lembre-se da integral de \frac{1}{y}: é o logaritmo natural. Assim,
\int \frac{1}{y}\,dy=\int 5\,dt.
Calculando as integrais obtemos
\ln|y|=5t+C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário).

Passo 5

Isolamos y exponenciando ambos os lados. Aplicando a função exponencial:
|y|=e^{5t+C}=e^{C}e^{5t}.
Como e^{C}>0, podemos chamar A=e^{C}>0 e escrever |y|=A e^{5t}. Isso nos dá duas possibilidades combinadas numa única forma geral:
y(t)=C_1 e^{5t},
onde C_1 é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero). Observação: a solução identicamente zero y(t)\equiv 0 corresponde a C_1=0.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial para determinar C_1. A condição é y(0)=20. Substituindo na forma geral:
y(0)=C_1 e^{5\cdot 0}=C_1 e^{0}=C_1.
Portanto
C_1=20.

Passo 7

Substituindo C_1 na solução geral obtemos a solução particular que atende à condição inicial:
y(t)=20e^{5t}.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcule a derivada
\frac{d}{dt}\bigl(20e^{5t}\bigr)=20\cdot 5 e^{5t}=5\bigl(20e^{5t}\bigr),
portanto a solução satisfaz a equação diferencial, e já conferimos que em t=0 temos y(0)=20.

Resposta

y(t)=20e^{5t}

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