Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
f(x)=\cos (2 x)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
  • Temos a função f(x)=\cos(2x).\n
  • Precisamos encontrar os pontos críticos (onde f' é zero ou não existe) e classificá‑los como máximo ou mínimo.\n
  • Precisamos determinar os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo, e encontrar os pontos de inflexão (se existirem).\n
  • Informação relevante: o domínio natural de f é todo \mathbb{R} (a função está definida para qualquer x).\n

Passo 2

Derivada primeira — regra e cálculo (aula rápida sobre derivada e regra da cadeia)\n
  • Lembrete: a derivada de \cos(u) em relação a x é -\sin(u)\cdot u' (esta é a regra da cadeia: derivar o exterior e multiplicar pela derivada do interior). Aqui u(x)=2x e u'(x)=2.\n
  • Aplicando isso:
f'(x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe)\n
  • f'(x) é uma função trigonométrica contínua e definida para todo x, então não há pontos onde f' não existe.\n
  • Igualamos a zero:
-2\sin(2x)=0 \iff \sin(2x)=0.
  • As soluções de \sin(2x)=0 são 2x = k\pi com k\in\mathbb{Z}. Logo
x = \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Conclusão: os pontos críticos são x=\dfrac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Derivada segunda — regra e cálculo (para classificar e estudar concavidade)\n
  • Derivamos f'(x)=-2\sin(2x). Outra vez usamos a regra da cadeia: derivada de \sin(2x) é \cos(2x)\cdot 2.\n
  • Portanto
f''(x) = -2\cdot (2\cos(2x)) = -4\cos(2x).

Passo 5

Classificação dos pontos críticos pelo teste da derivada segunda (aula rápida sobre o teste)\n
  • Regra: se f''(x_0)>0 então x_0 é mínimo local; se f''(x_0)<0 então x_0 é máximo local; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.\n
  • Avaliamos f'' nos pontos críticos x=\dfrac{k\pi}{2}:
f''\!\left(\frac{k\pi}{2}\right) = -4\cos\!\left(2\cdot\frac{k\pi}{2}\right) = -4\cos(k\pi) = -4(-1)^k.
  • Se k é par (ou seja k=2m, m\in\mathbb{Z}), então (-1)^k=1 e
f''\!\left(\frac{k\pi}{2}\right) = -4 < 0,
logo esses pontos são máximos locais.\n
  • Se k é ímpar (ou seja k=2m+1), então (-1)^k=-1 e
f''\!\left(\frac{k\pi}{2}\right) = 4 > 0,
logo esses pontos são mínimos locais.\n
  • Valores da função nesses pontos: para x=\dfrac{k\pi}{2},
f\!\left(\frac{k\pi}{2}\right)=\cos\!\left(2\cdot\frac{k\pi}{2}\right)=\cos(k\pi)=(-1)^k.
Assim, máximos locais têm valor 1 (quando k par) e mínimos locais têm valor -1 (quando k ímpar).

Passo 6

Expressar os máximos e mínimos de forma mais direta (fórmula com m\in\mathbb{Z})\n
  • Máximos locais: x=m\pi com m\in\mathbb{Z}. Nestes pontos f(x)=1.\n
  • Mínimos locais: x=m\pi+\dfrac{\pi}{2} com m\in\mathbb{Z}. Nestes pontos f(x)=-1.

Passo 7

Concavidade — relação com f'' e determinação dos intervalos\n
  • Lembrete: se f''(x)>0 então f é côncava para cima em torno de x; se f''(x)<0 então f é côncava para baixo.\n
  • Temos f''(x)=-4\cos(2x). Então:
    • f''(x)>0 \iff -4\cos(2x)>0 \iff \cos(2x)<0.\n
    • f''(x)<0 \iff \cos(2x)>0.\n
  • Resolver \cos(2x)<0: isso acontece quando
2x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2:
x\in\left(\frac{\pi}{4}+n\pi,\;\frac{3\pi}{4}+n\pi\right),\quad n\in\mathbb{Z}.
Nesses intervalos f é côncava para cima.\n
  • Resolver \cos(2x)>0: isso acontece quando
2x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),
ou de forma equivalente
x\in\left(n\pi-\frac{\pi}{4},\;n\pi+\frac{\pi}{4}\right),\quad n\in\mathbb{Z}.
Nesses intervalos f é côncava para baixo.\n
  • Observação: as fronteiras desses intervalos ocorrem onde \cos(2x)=0, isto é onde f''(x)=0.

Passo 8

Pontos de inflexão — onde f''=0 e há troca de concavidade\n
  • Resolva f''(x)=0:
-4\cos(2x)=0 \iff \cos(2x)=0 \iff 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo
x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
  • Em cada um desses pontos a concavidade troca de sinal (passa de cima para baixo ou vice‑versa), portanto são pontos de inflexão.\n
  • Valor da função nesses pontos:
f\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)=\cos\!\left(2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=0.
Portanto as coordenadas dos pontos de inflexão são \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2},\,0\right), k\in\mathbb{Z}.

Resposta

Pontos críticos e classificação: x=\dfrac{k\pi}{2} com k\in\mathbb{Z}.\nMáximos locais: x=m\pi ( m\in\mathbb{Z}), com f(x)=1.\nMínimos locais: x=m\pi+\dfrac{\pi}{2} ( m\in\mathbb{Z}), com f(x)=-1.\nIntervalos de concavidade para cima: x\in\left(\dfrac{\pi}{4}+n\pi,\;\dfrac{3\pi}{4}+n\pi\right), n\in\mathbb{Z}.\nIntervalos de concavidade para baixo: x\in\left(n\pi-\dfrac{\pi}{4},\;n\pi+\dfrac{\pi}{4}\right), n\in\mathbb{Z}.\nPontos de inflexão: x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}, com f(x)=0.

Exercícios relacionados