Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
- Temos a função
.\n - Precisamos encontrar os pontos críticos (onde
é zero ou não existe) e classificá‑los como máximo ou mínimo.\n - Precisamos determinar os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo, e encontrar os pontos de inflexão (se existirem).\n
- Informação relevante: o domínio natural de
é todo (a função está definida para qualquer ).\n
Passo 2
Derivada primeira — regra e cálculo (aula rápida sobre derivada e regra da cadeia)\n
- Lembrete: a derivada de
em relação a é (esta é a regra da cadeia: derivar o exterior e multiplicar pela derivada do interior). Aqui e .\n - Aplicando isso:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos (onde
ou
não existe)\n
-
é uma função trigonométrica contínua e definida para todo , então não há pontos onde não existe.\n - Igualamos a zero:
- As soluções de
são com . Logo
- Conclusão: os pontos críticos são
, .
Passo 4
Derivada segunda — regra e cálculo (para classificar e estudar concavidade)\n
- Derivamos
. Outra vez usamos a regra da cadeia: derivada de é .\n - Portanto
Passo 5
Classificação dos pontos críticos pelo teste da derivada segunda (aula rápida sobre o teste)\n
- Regra: se
então é mínimo local; se então é máximo local; se o teste é inconclusivo.\n - Avaliamos
nos pontos críticos :
- Se
é par (ou seja , ), então e
logo esses pontos são máximos locais.\n
- Se
é ímpar (ou seja ), então e
logo esses pontos são mínimos locais.\n
- Valores da função nesses pontos: para
,
Assim, máximos locais têm valor
(quando
par) e mínimos locais têm valor
(quando
ímpar).
Passo 6
Expressar os máximos e mínimos de forma mais direta (fórmula com
)\n
- Máximos locais:
com . Nestes pontos .\n - Mínimos locais:
com . Nestes pontos .
Passo 7
Concavidade — relação com
e determinação dos intervalos\n
- Lembrete: se
então é côncava para cima em torno de ; se então é côncava para baixo.\n - Temos
. Então: -
.\n -
.\n
-
- Resolver
: isso acontece quando
Dividindo por
:
Nesses intervalos
é côncava para cima.\n
- Resolver
: isso acontece quando
ou de forma equivalente
Nesses intervalos
é côncava para baixo.\n
- Observação: as fronteiras desses intervalos ocorrem onde
, isto é onde .
Passo 8
Pontos de inflexão — onde
e há troca de concavidade\n
- Resolva
:
Logo
- Em cada um desses pontos a concavidade troca de sinal (passa de cima para baixo ou vice‑versa), portanto são pontos de inflexão.\n
- Valor da função nesses pontos:
Portanto as coordenadas dos pontos de inflexão são
,
.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
com
.\nMáximos locais:
(
), com
.\nMínimos locais:
(
), com
.\nIntervalos de concavidade para cima:
,
.\nIntervalos de concavidade para baixo:
,
.\nPontos de inflexão:
,
, com
.