Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar a(s) solução(ões). Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
(derivada de em relação a ) com e com o fator multiplicativo . - Não foram fornecidas condições iniciais nem especificado um intervalo; portanto procuraremos a solução geral (família de soluções).
Passo 2
Escrever a notação da derivada de forma explícita. Por definição,
logo a equação fica
Uma observação importante: a expressão acima envolve divisão por
se quisermos isolar
. Portanto devemos ter cuidado com o ponto
. Vou resolver para
e depois comentar o caso
.
Passo 3
Separação de variáveis — ideia e aplicação. A técnica de separação de variáveis serve quando a equação pode ser escrita em forma onde os termos com
fiquem separados dos termos com
, permitindo integrar ambos os lados. A equação atual pode ser rearranjada assim (para
):
Agora colocamos os termos com
de um lado e os com
do outro:
Aqui fiz uma divisão por
; é conveniente lembrar que a solução
(identicamente zero) não é coberta por dividir por
, então a tratarei separadamente depois.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Quando temos uma igualdade de formas diferenciais, podemos integrar:
As integrais usuais são
. Aplicando,
onde
é constante arbitrária de integração (real).
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Definindo
, obtemos
, o que implica
Como
é qualquer constante real
, podemos escrever de forma compacta a família de soluções:
valendo para
. Note que a escolha
dá a solução
, que também é solução da equação original (ver passo seguinte).
Passo 6
Verificação direta e observações sobre o ponto
.
- Verificação: se
então . Substituindo na equação original:
logo a identidade é satisfeita para todo
, inclusive
. Assim a expressão
é válida globalmente em
como função, e inclui a solução trivial
quando
.
- Cuidado com a dedução via divisão por
e por : ao derivar/separar variáveis tivemos que supor e . A verificação direta mostra que a forma final é uma solução válida também em . Em termos de teoria da existência/unicidade, a equação escrita na forma não é definida em , então o teorema padrão de existência/unicidade não se aplica aí; isso permite, em problemas com condições em , que haja necessidade de análise cuidadosa. Mas para a solução geral, a família cobre todas as soluções contínuas.
Passo 7
Exemplo prático (como usar na prova). Se derem uma condição do tipo
com
, procede-se assim:
- Substituir
e resolver .
Ex.: seentão e .