Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
x y^{\prime}=y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y' = y
e pede para determinar a(s) solução(ões). Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona y' (derivada de y em relação a x) com y e com o fator multiplicativo x.
  • Não foram fornecidas condições iniciais nem especificado um intervalo; portanto procuraremos a solução geral (família de soluções).

Passo 2

Escrever a notação da derivada de forma explícita. Por definição,
y'=\frac{dy}{dx},
logo a equação fica
x\frac{dy}{dx}=y.
Uma observação importante: a expressão acima envolve divisão por x se quisermos isolar \dfrac{dy}{dx}. Portanto devemos ter cuidado com o ponto x=0. Vou resolver para x\neq0 e depois comentar o caso x=0.

Passo 3

Separação de variáveis — ideia e aplicação. A técnica de separação de variáveis serve quando a equação pode ser escrita em forma onde os termos com y fiquem separados dos termos com x, permitindo integrar ambos os lados. A equação atual pode ser rearranjada assim (para x\neq0):
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
Agora colocamos os termos com y de um lado e os com x do outro:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.
Aqui fiz uma divisão por y; é conveniente lembrar que a solução y\equiv0 (identicamente zero) não é coberta por dividir por y, então a tratarei separadamente depois.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Quando temos uma igualdade de formas diferenciais, podemos integrar:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{1}{x}\,dx.
As integrais usuais são \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. Aplicando,
\ln|y| = \ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária de integração (real).

Passo 5

Resolver para y. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|y| = e^{\ln|x|+C} = e^{C}\,|x|.
Definindo K=e^{C}>0, obtemos |y|=K|x|, o que implica
y = \pm K x.
Como \pm K é qualquer constante real C, podemos escrever de forma compacta a família de soluções:
y(x)=C x,\qquad C\in\mathbb{R},
valendo para x\neq0. Note que a escolha C=0 dá a solução y\equiv0, que também é solução da equação original (ver passo seguinte).

Passo 6

Verificação direta e observações sobre o ponto x=0.
  • Verificação: se y(x)=C x então y'(x)=C. Substituindo na equação original:
x y' = x\cdot C = C x = y,
logo a identidade é satisfeita para todo x, inclusive x=0. Assim a expressão y(x)=C x é válida globalmente em \mathbb{R} como função, e inclui a solução trivial y\equiv0 quando C=0.
  • Cuidado com a dedução via divisão por x e por y: ao derivar/separar variáveis tivemos que supor x\neq0 e y\neq0. A verificação direta mostra que a forma final y(x)=C x é uma solução válida também em x=0. Em termos de teoria da existência/unicidade, a equação escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x} não é definida em x=0, então o teorema padrão de existência/unicidade não se aplica aí; isso permite, em problemas com condições em x=0, que haja necessidade de análise cuidadosa. Mas para a solução geral, a família y(x)=C x cobre todas as soluções contínuas.

Passo 7

Exemplo prático (como usar na prova). Se derem uma condição do tipo y(x_0)=y_0 com x_0\neq0, procede-se assim:
  • Substituir y_0=C x_0 e resolver C=\dfrac{y_0}{x_0}.
    Ex.: se y(1)=2 então C=2 e y(x)=2x.

Resposta

y(x)=C x,\\ C\in\mathbb{R}

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