Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial:
\left(4-y^{2}\right) y^{\prime}=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
\left(4-y^{2}\right) y^{\prime}=x^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}.
  • Não há condições iniciais; então queremos a família geral de soluções (com constante arbitrária).
  • Atenção: o fator 4-y^{2} pode anular a equação em y=\pm2; isso deve ser verificado como caso especial depois.

Passo 2

Observação sobre o método (explicação didática): a equação tem a forma onde os termos dependem separadamente de x e de y. Isso indica que é uma equação separável. A ideia de separação de variáveis é reorganizar a equação para ter todos os termos em y com dy num lado e todos os termos em x com dx no outro, e então integrar ambos os lados.
Aplicando isso à nossa equação, escrevemos y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e separamos:
\left(4-y^{2}\right)\frac{dy}{dx}=x^{2} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dy}{4-y^{2}}=x^{2}\,dx.

Passo 3

Agora vamos integrar os dois lados. Primeiro precisamos integrar \displaystyle\int\frac{dy}{4-y^{2}}. Esse integrando é uma fração racional em y; uma maneira prática é decompor em frações parciais.
Fazemos a decomposição
\frac{1}{4-y^{2}}=\frac{1}{(2-y)(2+y)}=\frac{A}{2-y}+\frac{B}{2+y}.
Multiplicando por (2-y)(2+y) obtemos
1=A(2+y)+B(2-y).
Igualando coeficientes em y e termo constante:
  • Coeficiente de y: A - B = 0 \Rightarrow A=B.
  • Termo constante: 2A+2B=1 \Rightarrow 4A=1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{4}.
    Logo A=B=\tfrac{1}{4}.
Portanto
\frac{1}{4-y^{2}}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2-y}+\frac{1}{2+y}\right).

Passo 4

Integramos ambos os lados agora. Usando a decomposição:
\int\frac{dy}{4-y^{2}} =\frac{1}{4}\int\left(\frac{1}{2-y}+\frac{1}{2+y}\right)dy.
Calculemos as primitivias separadamente:
\int\frac{1}{2-y}\,dy=-\ln\left|2-y\right|,\qquad \int\frac{1}{2+y}\,dy=\ln\left|2+y\right|.
Portanto
\int\frac{dy}{4-y^{2}}=\frac{1}{4}\Big(-\ln\left|2-y\right|+\ln\left|2+y\right|\Big) =\frac{1}{4}\ln\left|\frac{2+y}{2-y}\right|.
Do outro lado:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Igualando as integrais e adicionando a constante de integração C:
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{2+y}{2-y}\right|=\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 5

Manipulamos essa expressão para obter uma forma explícita de y. Multiplicando por 4:
\ln\left|\frac{2+y}{2-y}\right|=\frac{4x^{3}}{3}+C_{1},
onde C_{1}=4C. Exponenciando:
\left|\frac{2+y}{2-y}\right|=e^{C_{1}}e^{\frac{4x^{3}}{3}}.
Denotando K=e^{C_{1}}>0, obtemos
\left|\frac{2+y}{2-y}\right|=K e^{\frac{4x^{3}}{3}}.
Suprimindo o valor absoluto podemos absorver o sinal em uma constante arbitrária C\neq0 (isto é, C pode ser qualquer constante real não nula), escrevendo
\frac{2+y}{2-y}=C e^{\frac{4x^{3}}{3}},\qquad C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Agora isolamos y. Multiplicando ambos os lados por 2-y:
2+y=C e^{\frac{4x^{3}}{3}}(2-y).
Reorganizando termos em y:
y + C e^{\frac{4x^{3}}{3}}\,y = 2C e^{\frac{4x^{3}}{3}} - 2.
Fatorando y:
y\left(1 + C e^{\frac{4x^{3}}{3}}\right)=2\left(C e^{\frac{4x^{3}}{3}}-1\right).
Finalmente:
y(x)=\frac{2\!\left(C e^{\frac{4x^{3}}{3}}-1\right)}{1 + C e^{\frac{4x^{3}}{3}}}.
Essa é a forma explícita da solução geral, com C constante arbitrária não nula. (Se desejar, C pode ser reparametrizada para cobrir todos os casos.)

Passo 6

Comentário sobre soluções constantes e domínio (didático e útil na prova):
  • As possíveis constantes que anulam o denominador original são y=\pm2. Substituindo numa equação original (4-y^{2})y' = x^{2} 0 = x^{2}, que só é verdadeira para x=0. Logo y\equiv2 e y\equiv-2 não são soluções válidas em qualquer intervalo que contenha pontos com x\neq0. Portanto não são soluções gerais da EDO.
  • A constante C ao exponenciar surgiu positiva dentro do valor absoluto, mas ao permitir C real não nulo na forma final cobrimos ambos os sinais possíveis resultantes da eliminação do valor absoluto. Dependendo de uma condição inicial, C pode ser determinado.

Passo 7

Formas alternativas (curta explicação): usando identidades exponenciais pode-se escrever a solução em termos de função hiperbólica:
y(x)=2\,\operatorname{tanh}\!\left(\frac{2x^{3}}{3}+C_{2}\right),
onde C_{2} é outra constante arbitrária (essa forma surge ao reparametrizar C). Ambas as formas são equivalentes localmente.

Resposta

y(x)=\frac{2\!\left(C e^{\frac{4x^{3}}{3}}-1\right)}{1 + C e^{\frac{4x^{3}}{3}}},\qquad C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

Exercícios relacionados