Para cada um dos itens a seguir, determine a solução da equação diferencial: \left(4-y^{2}\right) y^{\prime}=x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
\left(4-y^{2}\right) y^{\prime}=x^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A incógnita é a função y(x).
A derivada y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}.
Não há condições iniciais; então queremos a família geral de soluções (com constante arbitrária).
Atenção: o fator 4-y^{2} pode anular a equação em y=\pm2; isso deve ser verificado como caso especial depois.
Passo 2
Observação sobre o método (explicação didática): a equação tem a forma onde os termos dependem separadamente de x e de y. Isso indica que é uma equação separável. A ideia de separação de variáveis é reorganizar a equação para ter todos os termos em y com dy num lado e todos os termos em x com dx no outro, e então integrar ambos os lados.
Aplicando isso à nossa equação, escrevemos y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e separamos:
Agora vamos integrar os dois lados. Primeiro precisamos integrar \displaystyle\int\frac{dy}{4-y^{2}}. Esse integrando é uma fração racional em y; uma maneira prática é decompor em frações parciais.
Suprimindo o valor absoluto podemos absorver o sinal em uma constante arbitrária C\neq0 (isto é, C pode ser qualquer constante real não nula), escrevendo
Agora isolamos y. Multiplicando ambos os lados por 2-y:
2+y=C e^{\frac{4x^{3}}{3}}(2-y).
Reorganizando termos em y:
y + C e^{\frac{4x^{3}}{3}}\,y = 2C e^{\frac{4x^{3}}{3}} - 2.
Fatorando y:
y\left(1 + C e^{\frac{4x^{3}}{3}}\right)=2\left(C e^{\frac{4x^{3}}{3}}-1\right).
Finalmente:
y(x)=\frac{2\!\left(C e^{\frac{4x^{3}}{3}}-1\right)}{1 + C e^{\frac{4x^{3}}{3}}}.
Essa é a forma explícita da solução geral, com C constante arbitrária não nula. (Se desejar, C pode ser reparametrizada para cobrir todos os casos.)
Passo 6
Comentário sobre soluções constantes e domínio (didático e útil na prova):
As possíveis constantes que anulam o denominador original são y=\pm2. Substituindo numa equação original (4-y^{2})y' = x^{2} dá 0 = x^{2}, que só é verdadeira para x=0. Logo y\equiv2 e y\equiv-2 não são soluções válidas em qualquer intervalo que contenha pontos com x\neq0. Portanto não são soluções gerais da EDO.
A constante C ao exponenciar surgiu positiva dentro do valor absoluto, mas ao permitir C real não nulo na forma final cobrimos ambos os sinais possíveis resultantes da eliminação do valor absoluto. Dependendo de uma condição inicial, C pode ser determinado.
Passo 7
Formas alternativas (curta explicação): usando identidades exponenciais pode-se escrever a solução em termos de função hiperbólica: