Em cada um dos itens as seguir obtenha
(i) A soma de Riemann de
tomando quatro subintervalos.
(ii) A soma de Riemann de
tomando
subintervalos.
(iii) A integral de
no intervalo
usando da definição de integral.
.
(i) A soma de Riemann de
(ii) A soma de Riemann de
(iii) A integral de
Passo 1
O enunciado pede para calcular somas de Riemann e depois a integral definida de f(x)=16−x² no intervalo [−4,4]. O conteúdo envolve particionar o intervalo, aplicar a definição de soma de Riemann e, em seguida, usar o limite dessas somas para obter a integral.
Passo 2
Para quatro subintervalos iguais, temos Δx=\frac{b−a}{4}=\frac{4−(−4)}{4}=2. Escolhendo os pontos de amostragem como os extremos direitos de cada intervalo, os nós são x_i=−4+2i para i=1,…,4, ou seja, x_1=−2, x_2=0, x_3=2, x_4=4. A soma de Riemann é
Passo 3
Para n subintervalos iguais, Δx=\frac{8}{n} e os nós de amostragem (extremos direitos) são x_i=−4+iΔx. A soma de Riemann fica
com x_i=−4+i,Δx. Fazendo as contas de forma algébrica, chega-se a
Passo 4
A definição de integral diz que
Tomando o limite em S_n, temos
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)