Em cada um dos itens as seguir obtenha
(i) A soma de Riemann de f tomando quatro subintervalos.
(ii) A soma de Riemann de f tomando n subintervalos.
(iii) A integral de f no intervalo [a, b] usando da definição de integral.
f(x)=16-x^2, -4 <= x <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular somas de Riemann e depois a integral definida de f(x)=16−x² no intervalo [−4,4]. O conteúdo envolve particionar o intervalo, aplicar a definição de soma de Riemann e, em seguida, usar o limite dessas somas para obter a integral.

Passo 2

Para quatro subintervalos iguais, temos Δx=\frac{b−a}{4}=\frac{4−(−4)}{4}=2. Escolhendo os pontos de amostragem como os extremos direitos de cada intervalo, os nós são x_i=−4+2i para i=1,…,4, ou seja, x_1=−2, x_2=0, x_3=2, x_4=4. A soma de Riemann é
sumi=1^4f(xi),Δx=l(f(−2)+f(0)+f(2)+f(4)r)cdot2=l(12+16+12+0r)cdot2=80

Passo 3

Para n subintervalos iguais, Δx=\frac{8}{n} e os nós de amostragem (extremos direitos) são x_i=−4+iΔx. A soma de Riemann fica
Sn=sumi=1^nl(16−xi^2r)Δx
com x_i=−4+i,Δx. Fazendo as contas de forma algébrica, chega-se a
Sn=2563l(1−1n^2r)

Passo 4

A definição de integral diz que
integral-4^4f(x),dx=limntoinftySn
Tomando o limite em S_n, temos
limntoinfty2563l(1−1n^2r)=2563

Resposta

(i) 80
(ii) dfrac2563l(1-dfrac1n^2r)
(iii) dfrac2563

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