Responda corretamente os itens a seguir.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função g(x)=integralx^3 raiz5+t^2 d t, no ponto de abscissa 3 .

Passo 1

Estamos lidando com a função g(x)=integralx^3raiz5+t^2,dt e queremos a reta tangente em x=3. O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limite variável e a fórmula da reta tangente a um gráfico.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, ao derivar g(x)=integralx^3f(t),dt com f(t)=raiz5+t^2, temos g'(x)=-f(x). Portanto,
g'(x)=-raiz5+x^2

Passo 3

A inclinação da reta no ponto de abscissa x=3 é g'(3)=-raiz5+3^2=-raiz14. O valor de g(3) é integral3^3raiz5+t^2,dt=0, então o ponto de tangência é (3,0).

Passo 4

A equação da reta tangente, com ponto (x0,y0)=(3,0) e coeficiente angular m=-raiz14, vem de
y-y0=m(x-x0)
substituindo e simplificando:
y-0=-raiz14(x-3)
que pode ser escrita também como
y=-raiz14,x+3raiz14

Resposta

y=-raiz14,x+3raiz14

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