Em cada um dos itens as seguir obtenha
(i) A soma de Riemann de
tomando quatro subintervalos.
(ii) A soma de Riemann de
tomando
subintervalos.
(iii) A integral de
no intervalo
usando da definição de integral.
.
(i) A soma de Riemann de
(ii) A soma de Riemann de
(iii) A integral de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = 2x + 1 $ definida no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 5 $. A gente vai trabalhar com conceitos de Soma de Riemann e de integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como dividir o intervalo em subintervalos, calcular a largura de cada subintervalo, escolher pontos específicos em cada subintervalo para avaliar a função, e então somar esses valores para aproximar a área sob a curva.
Passo 2
(i) A soma de Riemann de $ f $ tomando quatro subintervalos
Primeiro, vamos calcular a Soma de Riemann usando quatro subintervalos.
Passo 2.1: Dividir o intervalo
Nosso intervalo é de $ a = 1 $ até $ b = 5 $. Queremos dividir esse intervalo em $ n = 4 $ subintervalos iguais.
Passo 2.2: Calcular a largura de cada subintervalo ($ \Delta x $)
A largura de cada subintervalo é dada por:
Passo 2.3: Determinar os pontos finais dos subintervalos
Os pontos que dividem o intervalo serão:
Passo 2.4: Escolher os pontos de avaliação
Vamos usar o ponto direito de cada subintervalo para avaliar a função. Assim, os pontos são $ x_1, x_2, x_3, x_4 $.
Passo 2.5: Calcular a soma de Riemann
A Soma de Riemann (S) é:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 3
(ii) A soma de Riemann de $ f $ tomando $ n $ subintervalos
Agora, vamos generalizar para $ n $ subintervalos.
Passo 3.1: Calcular a largura de cada subintervalo ($ \Delta x $)
Passo 3.2: Determinar os pontos finais dos subintervalos
Os pontos são:
Passo 3.3: Escolher os pontos de avaliação
Usando pontos direitos, os pontos de avaliação são $ x_i $ para $ i = 1 $ até $ n $.
Passo 3.4: Expressar a soma de Riemann
Substituindo $ x_i $:
Simplificando:
Portanto, a soma de Riemann com $ n $ subintervalos é:
Passo 4
(iii) A integral de $ f $ no intervalo
usando a definição de integral
Para encontrar a integral de $ f(x) = 2x + 1 $ no intervalo de $ 1 $ a $ 5 $, usamos a definição de integral como o limite da Soma de Riemann conforme $ n $ tende ao infinito.
Passo 4.1: Expressar a integral como limite da soma de Riemann
Do passo anterior, sabemos que:
Passo 4.2: Calcular o limite quando $ n \to \infty $
Resposta
A integral de $ f(x) = 2x + 1 $ no intervalo
é igual a $ 28 $.