Em cada um dos itens as seguir obtenha
(i) A soma de Riemann de f tomando quatro subintervalos.
(ii) A soma de Riemann de f tomando n subintervalos.
(iii) A integral de f no intervalo [a, b] usando da definição de integral.
f(x)=x^3-4 x, -3 <= x <= 7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver três partes sobre a função $ f(x) = x^{3} - 4x $ no intervalo de f(x) = x^3 - 4x a -3. O que vamos precisar aqui é entender o que é soma de Riemann e como ela aproxima a integral de uma função. Basicamente, vamos dividir o intervalo em subintervalos, calcular áreas de retângulos sobre cada subintervalo e somar tudo para aproximar a área total sob a curva de 7. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma de Riemann com quatro subintervalos.
  1. Dividir o intervalo: O intervalo [-3, 7] tem comprimento 7 - (-3) = 10. Com quatro subintervalos, cada largura De vai ser 10 / 4 = 2.5.
  2. Determinar os pontos: Vamos usar a soma de Riemann à esquerda, ou seja, usaremos o ponto inicial de cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos.
    • Subintervalos:
      • [-3, -0.5] com ponto -3
      • [-0.5, 2] com ponto -0.5
      • [2, 4.5] com ponto 2
      • [4.5, 7] com ponto 4.5
  3. Calcular f(x) em cada ponto:
    • f(-3) = (-3)^3 - 4*(-3) = -27 + 12 = -15
    • f(-0.5) = (-0.5)^3 - 4*(-0.5) = -0.125 + 2 = 1.875
    • f(2) = 2^3 - 4*2 = 8 - 8 = 0
    • f(4.5) = (4.5)^3 - 4*4.5 = 91.125 - 18 = 73.125
  4. Multiplicar cada f(x) pela largura De:
    • -15 * 2.5 = -37.5
    • 1.875 * 2.5 = 4.6875
    • 0 * 2.5 = 0
    • 73.125 * 2.5 = 182.8125
  5. Somar tudo: -37.5 + 4.6875 + 0 + 182.8125 = 150

Passo 3

Agora, vamos fazer a soma de Riemann com n subintervalos.
  1. Determinar De: O comprimento total é 10, então De.
  2. Expressar os pontos: Para a soma de Riemann à esquerda, os pontos são xi = -3 + i cdot De, onde i = 0, 1, 2, , n-1.
  3. Expressar a soma:
    Sn = sumi=0^n-1 f(xi) cdot De
    Essa é a expressão geral para a soma de Riemann com n subintervalos usando os pontos à esquerda.

Passo 4

Por fim, vamos calcular a integral de f no intervalo [-3, 7] usando a definição de integral, que é o limite da soma de Riemann quando n tende ao infinito.
  1. Expressar a integral como limite:
    integral-3^7 (x^3 - 4x) , dx = limn to infty Sn
  2. Calcular a integral: Vamos integrar cada termo separadamente.
    • integral x^3 , dx = x^44
    • integral -4x , dx = -2x^2
    Portanto,
    integral-3^7 (x^3 - 4x) , dx = [ x^44 - 2x^2 ]-3^7
  3. Avaliar nos limites:
    • Em x = 7:
      7^44 - 2 cdot 7^2 = 24014 - 98 = 600.25 - 98 = 502.25
    • Em x = -3:
      (-3)^44 - 2 cdot (-3)^2 = 814 - 18 = 20.25 - 18 = 2.25
  4. Subtrair:
    502.25 - 2.25 = 500

Resposta

(i) A soma de Riemann com quatro subintervalos é 150.
(ii) A soma de Riemann com n subintervalos é
Sn = sumi=0^n-1 [ (-3 + i cdot 10n)^3 - 4 (-3 + i cdot 10n) ] cdot 10n
(iii) A integral de f no intervalo [-3, 7] é 500.

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