Em cada um dos itens as seguir obtenha
(i) A soma de Riemann de
tomando quatro subintervalos.
(ii) A soma de Riemann de
tomando
subintervalos.
(iii) A integral de
no intervalo
usando da definição de integral.
.
(i) A soma de Riemann de
(ii) A soma de Riemann de
(iii) A integral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver três partes sobre a função $ f(x) = x^{3} - 4x $ no intervalo de
a
. O que vamos precisar aqui é entender o que é soma de Riemann e como ela aproxima a integral de uma função. Basicamente, vamos dividir o intervalo em subintervalos, calcular áreas de retângulos sobre cada subintervalo e somar tudo para aproximar a área total sob a curva de
. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a soma de Riemann com quatro subintervalos.
-
Dividir o intervalo: O intervalo
tem comprimento . Com quatro subintervalos, cada largura vai ser . -
Determinar os pontos: Vamos usar a soma de Riemann à esquerda, ou seja, usaremos o ponto inicial de cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos.
- Subintervalos:
-
com ponto -
com ponto -
com ponto -
com ponto
-
- Subintervalos:
-
Calcular
em cada ponto: -
-
Multiplicar cada
pela largura : -
-
Somar tudo:
Passo 3
Agora, vamos fazer a soma de Riemann com
subintervalos.
-
Determinar
: O comprimento total é , então . -
Expressar os pontos: Para a soma de Riemann à esquerda, os pontos são
, onde . -
Expressar a soma:Essa é a expressão geral para a soma de Riemann com
subintervalos usando os pontos à esquerda.
Passo 4
Por fim, vamos calcular a integral de
no intervalo
usando a definição de integral, que é o limite da soma de Riemann quando
tende ao infinito.
-
Expressar a integral como limite:
-
Calcular a integral: Vamos integrar cada termo separadamente.Portanto,
-
-
Avaliar nos limites:
-
Em
: -
Em
:
-
-
Subtrair:
Resposta
(i) A soma de Riemann com quatro subintervalos é 150.
(ii) A soma de Riemann com
subintervalos é
(iii) A integral de
no intervalo
é 500.