Cada limite abaixo representa a derivada de alguma função primitiva f em algum ponto x0. Estabeleça a primitiva f e o ponto x0 em cada caso.
lim x 1 x^9-1x-1

Passo 1

O enunciado considera o limite
limx to 1x^9-1x-1,
e lembra a definição de derivada
f'(x0)=limxto x0f(x)-f(x0)x-x0
Então queremos achar f e x0 tais que
f(x)-f(x0)x-x0=x^9-1x-1

Passo 2

Compare o numerador x^9-1 com f(x)-f(x0). Se escolhermos
f(x)=x^9,
então f(x0)=f(1)=1. Assim
f(x)-f(1)x-1 =x^9-1x-1,
e o ponto de derivação é x0=1.

Resposta

f(x)=x^9+C, x0=1,
onde C é constante arbitrária.

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