Verifique se as funções abaixo são injetivas e/ou sobrejetivas. Em cada caso, determine Im(f).
(c) f: Q^+ R, f(x)=x^2

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon Q^+to R, f(x)=x^2,
onde Q^+ são os racionais estritamente positivos. Precisamos verificar se f é injetiva e/ou sobrejetiva e, em seguida, determinar
Im(f)=,f(x)mid xinQ^+

Passo 2

Para testar a injetividade, tomamos x1,x2inQ^+ tais que
f(x1) = f(x2) Longrightarrow x1^2 = x2^2
Como x1 e x2 são positivos, podemos aplicar a função raiz;cdot; em ambos os lados e obter
x1 = x2
Portanto, f é injetiva.

Passo 3

Para testar a sobrejetividade, considerei um valor genérico yinR e pergunto se existe xinQ^+ com x^2=y.
  • Se y<0, não há xinQ^+ com x^2=y.
  • Se y>=0, é necessário que raizy seja racional, o que não ocorre para muitos yinR>=0.
    Logo, não existe pré-imagem para todos os yinR, ou seja, f não é sobrejetiva em R.

Passo 4

A imagem de f é o conjunto de todos os quadrados de racionais positivos. Assim,
Im(f) =,x^2mid xinQ^+,
que é um subconjunto próprio de Q^+ (logo de R), contendo exatamente os números que são quadrados de algum racional positivo.

Resposta

A função f é injetiva, não é sobrejetiva, e
Im(f)=,x^2mid xinQ^+

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