Verifique se as funções abaixo são injetivas e/ou sobrejetivas. Em cada caso, determine
.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado define a função
onde
são os racionais estritamente positivos. Precisamos verificar se
é injetiva e/ou sobrejetiva e, em seguida, determinar
Passo 2
Para testar a injetividade, tomamos
tais que
Como
e
são positivos, podemos aplicar a função
em ambos os lados e obter
Portanto,
é injetiva.
Passo 3
Para testar a sobrejetividade, considerei um valor genérico
e pergunto se existe
com
.
- Se
, não há com . - Se
, é necessário que seja racional, o que não ocorre para muitos .
Logo, não existe pré-imagem para todos os, ou seja, não é sobrejetiva em .
Passo 4
A imagem de
é o conjunto de todos os quadrados de racionais positivos. Assim,
que é um subconjunto próprio de
(logo de
), contendo exatamente os números que são quadrados de algum racional positivo.
Resposta
A função
é injetiva, não é sobrejetiva, e