Cada limite abaixo representa a derivada de alguma função primitiva f em algum ponto x0. Estabeleça a primitiva f e o ponto x0 em cada caso.
lim h 0 raiz1+h-1h

Passo 1

O enunciado pede para identificar uma função f e um ponto x0 tais que
limhto0raiz1+h-1h
seja exatamente a derivada f'(x0). Vamos usar a definição de derivada de uma função num ponto.

Passo 2

A definição de derivada é
f'(x0) = limhto0f(x0+h)-f(x0)h
Comparando com
limhto0raiz1+h-1h,
vemos que o numerador tem a forma f(x0+h)-f(x0) se escolhermos
f(x0+h)=raiz1+h e f(x0)=1
Logo x0+h deve ser 1+h, o que implica x0=1.

Passo 3

Se x0=1, então f(1+h)=raiz1+h para todo h pequeno. Isso sugere a escolha
f(x)=raizx
para x>0.

Resposta

A função é
f(x)=raizx,
e o ponto em que avaliamos a derivada é
x0=1

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