Sejam
e
reais não negativos. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, dados
, que
O conteúdo aqui é manipulação algébrica de inequações e uso de quadrado de diferença.
Passo 2
Para comparar os dois lados, vamos considerar a diferença
Se mostrarmos que
sempre que
, então fica evidente a desigualdade estrita (e, no caso
, tem-se
, ou seja, igualdade).
Passo 3
Expandindo cada termo, temos
logo
Passo 4
Repare que
para quaisquer
. Portanto
com
exatamente quando
, e
se
. Assim
o que implica