Sejam a e b reais não negativos. Mostre que
(a+b2)^2<a^2+b^22

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, dados a,b>=0, que
l(a+b2r)^2<a^2+b^22
O conteúdo aqui é manipulação algébrica de inequações e uso de quadrado de diferença.

Passo 2

Para comparar os dois lados, vamos considerar a diferença
D=a^2+b^22-l(a+b2r)^2
Se mostrarmos que D>0 sempre que aneq b, então fica evidente a desigualdade estrita (e, no caso a=b, tem-se D=0, ou seja, igualdade).

Passo 3

Expandindo cada termo, temos
l(a+b2r)^2 =a^2+2ab+b^24,
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D =a^2+b^22-a^2+2ab+b^24 =2a^2+2b^2-l(a^2+2ab+b^2r)4 =a^2-2ab+b^24

Passo 4

Repare que
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0
para quaisquer a,b. Portanto
D=(a-b)^24>=0,
com D=0 exatamente quando a=b, e D>0 se aneq b. Assim
a^2+b^22-l(a+b2r)^2 =(a-b)^24>0 (para aneq b),
o que implica
l(a+b2r)^2<a^2+b^22

Resposta

l(a+b2r)^2<a^2+b^22

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