Exercício 3.8.1. Mostre que:
integral4^+infty d xx raizx=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral4^+infty dxxraizx
Para isso vamos usar o conceito de integral imprópria e a primitiva de funções potência.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como
1xraizx = x^-3/2.
Trata-se de uma integral imprópria do tipo p com p=tfrac32>1, portanto ela converge.

Passo 3

Encontramos a primitiva de x^-3/2. De fato, usando a regra integral x^n dx = x^n+1/(n+1) para nneq -1, temos
integral x^-3/2,dx = -2,x^-1/2 + C

Passo 4

Avaliamo-la de 4 até +infty:
integral4^+infty x^-3/2,dx = limbto+inftyl[-2x^-1/2r]4^b = limbto+inftyl(-2b^-1/2+2cdot4^-1/2r) = 0 + 1 =1

Resposta

1

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