Cada limite representa a derivada de alguma função f em algum número a. Estabeleça f^{\prime}(a) em cada caso.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-1}{t}

Passo 1

O enunciado dá o limite
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-1}{t}
e pede para estabelecer o valor de f^{\prime}(a) correspondente. As informações relevantes são:
  • o numerador é \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-1;
  • o divisor é t e a variável tende a 0;
  • note que \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
    Portanto estamos diante de um limite do tipo \dfrac{f(a+t)-f(a)}{t} com t\to0.

Passo 2

Vou associar esse limite à definição de derivada. A definição de derivada de uma função f em um ponto a é
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui a letra h é apenas um nome para o incremento — no nosso limite o incremento chama-se t. Comparando, podemos identificar:
f(x)=\operatorname{sen}(x)\qquad\text{e}\qquad a=\frac{\pi}{2},
pois então f(a)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 e o numerador fica exatamente f(a+t)-f(a).

Passo 3

Pelo passo anterior, o limite pedido é exatamente a derivada de f(x)=\operatorname{sen}(x) no ponto a=\frac{\pi}{2}:
\lim_{t \to 0}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-1}{t}=f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Agora precisamos calcular f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right).

Passo 4

Uma regra básica e frequentemente usada é que a derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x), isto é,
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
Significa que, para qualquer x,
f'(x)=\cos(x).
Aplicando em x=\frac{\pi}{2} obtemos
f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
E sabemos que \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Portanto f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 5

Se você quiser ver o limite diretamente, sem usar a regra pronta, há um cálculo trigonométrico curto que confirma o mesmo resultado. Usando a identidade
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\cos(t),
o limite fica
\lim_{t\to0}\frac{\cos(t)-1}{t}.
Usamos a identidade \cos t-1=-2\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right) e obtemos
\frac{\cos t-1}{t}=-2\cdot\frac{\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right)}{t} =-\left(\frac{t}{2}\right)\left(\frac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\right)^{2}.
Como \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, o fator \left(\dfrac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\right)^{2} tende a 1 e o fator \dfrac{t}{2} tende a 0. Logo o produto tende a 0. Isso confirma que o limite vale 0.

Resposta

0

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