Cada limite representa a derivada de alguma função
em algum número
. Estabeleça
em cada caso.
Passo 1
O enunciado dá o limite
e pede para estabelecer o valor de
correspondente. As informações relevantes são:
- o numerador é
; - o divisor é
e a variável tende a ; - note que
.
Portanto estamos diante de um limite do tipocom .
Passo 2
Vou associar esse limite à definição de derivada. A definição de derivada de uma função
em um ponto
é
Aqui a letra
é apenas um nome para o incremento — no nosso limite o incremento chama-se
. Comparando, podemos identificar:
pois então
e o numerador fica exatamente
.
Passo 3
Pelo passo anterior, o limite pedido é exatamente a derivada de
no ponto
:
Agora precisamos calcular
.
Passo 4
Uma regra básica e frequentemente usada é que a derivada de
é
, isto é,
Significa que, para qualquer
,
Aplicando em
obtemos
E sabemos que
. Portanto
.
Passo 5
Se você quiser ver o limite diretamente, sem usar a regra pronta, há um cálculo trigonométrico curto que confirma o mesmo resultado. Usando a identidade
o limite fica
Usamos a identidade
e obtemos
Como
, o fator
tende a
e o fator
tende a
. Logo o produto tende a
. Isso confirma que o limite vale
.