Determine as curvas de nível do gráfico
para o número de
dado
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as curvas de nível (conjuntos de pontos
que satisfazem
) para os valores
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As perguntas são: para cada valor de
dado, qual é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
?
Passo 2
Definição prática de curva de nível: dado um número
, a curva de nível correspondente é o conjunto de
que resolvem
Para avançar, multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que não podemos ter
):
Essa é a equação que vamos manipular; note que precisamos tratar separadamente o caso
e o caso
.
Passo 3
Caso
(que corresponde a
):
Partimos da equação
Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero), logo
com a condição adicional
(ou seja,
não é permitido). Portanto a curva de nível para
é o eixo
sem a origem:
Passo 4
Caso
:
A partir de
reorganizamos para obter uma forma quadrática:
Dividindo por
(permitido porque
):
Agora completamos o quadrado em
. Somamos e subtraímos
:
O termo à esquerda com
vira um quadrado perfeito:
Conclusão: para
a curva de nível é a circunferência com centro em
e raio
:
Importante: essa circunferência passa por
(verificando
), porém o ponto
não pertence ao domínio da função. Logo a curva de nível é a circunferência inteira exceto o ponto
que deve ser retirado.
Passo 5
Agora aplicamos aos valores específicos pedidos.
Para
(ou seja
):
É a circunferência de centro
e raio
, excluindo o ponto
.
Para
(ou seja
):
É a circunferência de centro
e raio
, excluindo o ponto
.
Para
(ou seja
):
É a circunferência de centro
e raio
, excluindo o ponto
.