Determine as curvas de nível do gráfico z=f(x, y) para o número de z dado
f(x, y)=\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}} ; z=0, z=1, z=2, z=3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}
e pede as curvas de nível (conjuntos de pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=z) para os valores z=0,\;z=1,\;z=2,\;z=3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{domínio: }(x,y)\in\mathbb{R}^2\text{ com }x^{2}+y^{2}\neq 0\quad(\text{o ponto }(0,0)\text{ está excluído})íáí
As perguntas são: para cada valor de z dado, qual é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem a equação f(x,y)=z?

Passo 2

Definição prática de curva de nível: dado um número c, a curva de nível correspondente é o conjunto de (x,y) que resolvem
\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}=c.
Para avançar, multiplicamos ambos os lados por x^{2}+y^{2} (lembrando que não podemos ter x^{2}+y^{2}=0):
2x = c\,(x^{2}+y^{2}).
Essa é a equação que vamos manipular; note que precisamos tratar separadamente o caso c=0 e o caso c\neq 0.

Passo 3

Caso c=0 (que corresponde a z=0):
Partimos da equação
\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}=0.
Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero), logo
2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
com a condição adicional x^{2}+y^{2}\neq 0 (ou seja, (0,0) não é permitido). Portanto a curva de nível para z=0 é o eixo y sem a origem:
\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R},\;y\neq 0\}.

Passo 4

Caso c\neq 0:
A partir de
2x = c\,(x^{2}+y^{2})
reorganizamos para obter uma forma quadrática:
c x^{2} - 2x + c y^{2} = 0.
Dividindo por c (permitido porque c\neq 0):
x^{2} - \frac{2}{c}x + y^{2} = 0.
Agora completamos o quadrado em x. Somamos e subtraímos \left(\frac{1}{c}\right)^{2}:
x^{2} - \frac{2}{c}x + \left(\frac{1}{c}\right)^{2} + y^{2} = \left(\frac{1}{c}\right)^{2}.
O termo à esquerda com x vira um quadrado perfeito:
\left(x-\frac{1}{c}\right)^{2} + y^{2} = \left(\frac{1}{c}\right)^{2}.
Conclusão: para c\neq 0 a curva de nível é a circunferência com centro em \left(\frac{1}{c},0\right) e raio \left|\frac{1}{c}\right|:
\text{centro }= \left(\frac{1}{c},0\right),\qquad \text{raio }= \left|\frac{1}{c}\right|.
Importante: essa circunferência passa por (0,0) (verificando (0-\tfrac{1}{c})^{2}=1/c^{2}), porém o ponto (0,0) não pertence ao domínio da função. Logo a curva de nível é a circunferência inteira exceto o ponto (0,0) que deve ser retirado.

Passo 5

Agora aplicamos aos valores específicos pedidos.
Para z=1 (ou seja c=1):
\left(x-1\right)^{2}+y^{2}=1.
É a circunferência de centro (1,0) e raio 1, excluindo o ponto (0,0).
Para z=2 (ou seja c=2):
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
É a circunferência de centro \left(\tfrac{1}{2},0\right) e raio \tfrac{1}{2}, excluindo o ponto (0,0).
Para z=3 (ou seja c=3):
\left(x-\tfrac{1}{3}\right)^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}.
É a circunferência de centro \left(\tfrac{1}{3},0\right) e raio \tfrac{1}{3}, excluindo o ponto (0,0).

Resposta

z=0:\; \{(0,y)\mid y\in\mathbb{R},\;y\neq 0\}.\n
z=1:\; (x-1)^{2}+y^{2}=1, com (0,0) excluído.\n
z=2:\; \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}, com (0,0) excluído.\n
z=3:\; \left(x-\tfrac{1}{3}\right)^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}, com (0,0) excluído.

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