Determine as curvas de nível do gráfico
para o número de
dado
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar as curvas de nível correspondentes aos valores
,
e
.
Informações relevantes: a curva de nível para um valor é o conjunto de pontos
tais que
. Aqui, para cada
precisamos resolver a equação
Informações relevantes: a curva de nível para um valor
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática): fixando um valor
, a curva de nível é a solução no plano
da equação
Uma forma útil de escrever essa equação é fatorando:
Para valores grandes de
ou
os termos
e
dominam, por isso as retas
aparecem como assimptotas das curvas
. Dependendo do sinal de
a curva tem forma diferente (linhas, hipérboles com eixo vertical ou horizontal). Vou agora resolver caso a caso.
Passo 3
Curva de nível para
. Substituímos
em
Fatorando:
Portanto ou
ou
. Logo as soluções são as retas
Interpretação: são duas retas que se cruzam na origem. Essas são as curvas de nível para
.
Passo 4
Curva de nível para
. Substituímos
em
Isolando
:
Observações importantes:
- A expressão
está definida para todo , portanto cada ramo e existe para todo . - Quando
obtemos ; quando cresce muito, , então as retas atuam como assimptotas.
Interpretação geométrica: são duas ramas de uma hipérbole que se abrem nas direções positiva e negativa de(uma acima do eixo e outra abaixo), com assimptotas .
Passo 5
Curva de nível para
. Substituímos
em
Reescrevendo:
Duas formas úteis de expressar as soluções:
- Como
em função de :
isso está definido para todo
, mostrando dois ramos com
positivo e
negativo.
- Se quisermos
em função de , isolamos :
nesta forma é preciso exigir
, ou seja
.
Interpretação geométrica: são duas ramas de uma hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda (eixo principal horizontal), com interseções nos pontos e com as mesmas assimptotas
.
Interpretação geométrica: são duas ramas de uma hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda (eixo principal horizontal), com interseções nos pontos
Passo 6
Resumo geométrico e dicas de desenho:
- Para
: duas retas que se cruzam na origem. - Para
: hipérbole com ramos verticalmente orientados, dada por ; cruza o eixo em e tem assimptotas . - Para
: hipérbole com ramos horizontalmente orientados, dada por (ou com ); cruza o eixo em e tem assimptotas .
Se for desenhar no papel: marque as assimptotas, ponha os pontos de intersecção com eixos indicados acima e trace suavemente os ramos hiperbólicos aproximando-se das assimptotas.