Determine as curvas de nível do gráfico z=f(x, y) para o número de z dado
f(x, y)=y^{2}-x^{2} ; z=-1 ; z=0, z=1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y^{2}-x^{2} e pede: determinar as curvas de nível correspondentes aos valores z=-1, z=0 e z=1.
Informações relevantes: a curva de nível para um valor z_{0} é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=z_{0}. Aqui, para cada z precisamos resolver a equação
y^{2}-x^{2}=z.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática): fixando um valor z_{0}, a curva de nível é a solução no plano (x,y) da equação
y^{2}-x^{2}=z_{0}.
Uma forma útil de escrever essa equação é fatorando:
(y-x)(y+x)=z_{0}.
Para valores grandes de |x| ou |y| os termos y e x dominam, por isso as retas y=\pm x aparecem como assimptotas das curvas y^{2}-x^{2}=z_{0}. Dependendo do sinal de z_{0} a curva tem forma diferente (linhas, hipérboles com eixo vertical ou horizontal). Vou agora resolver caso a caso.

Passo 3

Curva de nível para z=0. Substituímos z=0 em
y^{2}-x^{2}=0.
Fatorando:
(y-x)(y+x)=0.
Portanto ou y-x=0 ou y+x=0. Logo as soluções são as retas
y=x\quad\text{e}\quad y=-x.
Interpretação: são duas retas que se cruzam na origem. Essas são as curvas de nível para z=0.

Passo 4

Curva de nível para z=1. Substituímos z=1 em
y^{2}-x^{2}=1.
Isolando y:
y^{2}=x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{x^{2}+1}.
Observações importantes:
  • A expressão \sqrt{x^{2}+1} está definida para todo x\in\mathbb{R}, portanto cada ramo y=+\sqrt{x^{2}+1} e y=-\sqrt{x^{2}+1} existe para todo x.
  • Quando x=0 obtemos y=\pm1; quando |x| cresce muito, \sqrt{x^{2}+1}\approx|x|, então as retas y=\pm x atuam como assimptotas.
    Interpretação geométrica: são duas ramas de uma hipérbole que se abrem nas direções positiva e negativa de y (uma acima do eixo x e outra abaixo), com assimptotas y=\pm x.

Passo 5

Curva de nível para z=-1. Substituímos z=-1 em
y^{2}-x^{2}=-1.
Reescrevendo:
x^{2}-y^{2}=1.
Duas formas úteis de expressar as soluções:
  • Como x em função de y:
x=\pm\sqrt{y^{2}+1},
isso está definido para todo y\in\mathbb{R}, mostrando dois ramos com x positivo e x negativo.
  • Se quisermos y em função de x, isolamos y:
y^{2}=x^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{x^{2}-1},
nesta forma é preciso exigir x^{2}\ge 1, ou seja |x|\ge 1.
Interpretação geométrica: são duas ramas de uma hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda (eixo principal horizontal), com interseções nos pontos (\pm1,0) e com as mesmas assimptotas y=\pm x.

Passo 6

Resumo geométrico e dicas de desenho:
  • Para z=0: duas retas y=\pm x que se cruzam na origem.
  • Para z=1: hipérbole com ramos verticalmente orientados, dada por y=\pm\sqrt{x^{2}+1}; cruza o eixo y em (0,\pm1) e tem assimptotas y=\pm x.
  • Para z=-1: hipérbole com ramos horizontalmente orientados, dada por x=\pm\sqrt{y^{2}+1} (ou y=\pm\sqrt{x^{2}-1} com |x|\ge1); cruza o eixo x em (\pm1,0) e tem assimptotas y=\pm x.
    Se for desenhar no papel: marque as assimptotas y=\pm x, ponha os pontos de intersecção com eixos indicados acima e trace suavemente os ramos hiperbólicos aproximando-se das assimptotas.

Resposta

z=-1:\\ x^{2}-y^{2}=1 (ou x=\pm\sqrt{y^{2}+1}; equivalentemente y=\pm\sqrt{x^{2}-1} com |x|\ge1).
z=0:\\ y=x e y=-x.
z=1:\\ y^{2}-x^{2}=1 (ou y=\pm\sqrt{x^{2}+1}).

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