Nos problemas abaixo calcule o limite
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - O ponto de aproximação é
. - É necessário garantir que o logaritmo esteja bem definido (ou seja, que
) num entorno de . - Queremos o valor numérico do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Mostramos que
tende a
quando
.
Explicação didática: usamos a desigualdade triangular básica para controlar a soma. Para qualquer
,
Se
, então
e
, logo
. Portanto
Isto é simples e útil: somas e constantes multiplicadas preservam limites (é a propriedade linear dos limites).
Passo 3
Com isso, temos que
Explicação didática: somar a constante
desloca o limite em
. Então o argumento do logaritmo tende a
.
Passo 4
Verificamos que o logaritmo está bem definido num entorno de
.
Detalhe prático: precisamos garantir que
perto de
. Como mostramos em
Passo 5
Logo, num pequeno disco em torno de
o argumento do logaritmo é positivo e o logaritmo está bem definido.
Passo 6
Usamos a continuidade do logaritmo natural
em pontos positivos para passar o limite através do
.
Explicação didática: a função
é contínua em todo
. Quando uma função
é contínua num ponto
e
, então
. Aplicando isso com
e
, e lembrando que
, obtemos
Passo 7
Agora temos que o numerador constante
tende a
e o denominador tende a
. Pelo teorema do limite do quociente (quando o denominador tende a um número não nulo), o limite do quociente é o quociente dos limites. Assim,