Nos problemas abaixo calcule o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5}{\ln (x+3 y+e)}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{5}{\ln(x+3y+e)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão dentro do logaritmo é x+3y+e.
  • O ponto de aproximação é (0,0).
  • É necessário garantir que o logaritmo esteja bem definido (ou seja, que x+3y+e>0) num entorno de (0,0).
  • Queremos o valor numérico do limite quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Mostramos que x+3y tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).
Explicação didática: usamos a desigualdade triangular básica para controlar a soma. Para qualquer (x,y),
|x+3y| \le |x| + 3|y|.
Se (x,y)\to(0,0), então |x|\to 0 e |y|\to 0, logo |x|+3|y|\to 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+3y) = 0.
Isto é simples e útil: somas e constantes multiplicadas preservam limites (é a propriedade linear dos limites).

Passo 3

Com isso, temos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+3y+e) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+3y) + e = 0 + e = e.
Explicação didática: somar a constante e desloca o limite em e. Então o argumento do logaritmo tende a e.

Passo 4

Verificamos que o logaritmo está bem definido num entorno de (0,0).
Detalhe prático: precisamos garantir que x+3y+e>0 perto de (0,0). Como mostramos em

Passo 5

x+3y+e \ge e - |x+3y| > e - \frac{e}{2} = \frac{e}{2} > 0.
Logo, num pequeno disco em torno de (0,0) o argumento do logaritmo é positivo e o logaritmo está bem definido.

Passo 6

Usamos a continuidade do logaritmo natural \ln em pontos positivos para passar o limite através do \ln.
Explicação didática: a função \ln é contínua em todo (0,\infty). Quando uma função g é contínua num ponto a e h(x)\to a, então g(h(x))\to g(a). Aplicando isso com g=\ln e h(x,y)=x+3y+e, e lembrando que h(x,y)\to e, obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln(x+3y+e) = \ln\!\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+3y+e)\bigr) = \ln(e) = 1.

Passo 7

Agora temos que o numerador constante 5 tende a 5 e o denominador tende a 1\neq 0. Pelo teorema do limite do quociente (quando o denominador tende a um número não nulo), o limite do quociente é o quociente dos limites. Assim,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{5}{\ln(x+3y+e)} = \frac{\; \lim_{(x,y)\to(0,0)} 5 \;}{\; \lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln(x+3y+e)\;} = \frac{5}{1} = 5.

Resposta

5

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