Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\operatorname{senh} x}{4}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{senh}x}{4}.
Informações dadas:
  • A função envolvida é \operatorname{senh}x (hiperbólica seno).
  • O ponto de aproximação é x\to 2.
  • O denominador é a constante 4.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica de limites (explicando como usá-la aqui):
Se existem \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) e \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}.
No nosso caso, g(x)=4 é constante, logo \lim_{x\to2}g(x)=4\neq 0. Portanto podemos separar o limite em numerador e denominador.

Passo 3

Outra propriedade útil (constante por fora): para qualquer função f e constante c,
\lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x),
desde que o limite de f exista. Aplicando com c=\tfrac{1}{4},
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{senh}x}{4}=\frac{1}{4}\lim_{x\to 2}\operatorname{senh}x.

Passo 4

Agora precisamos de \lim_{x\to2}\operatorname{senh}x. Lembrando a definição da função seno hiperbólico:
\operatorname{senh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
As funções exponenciais e^{x} e e^{-x} são contínuas em todo \mathbb{R}, então seus limites ao aproximar x por 2 são simplesmente os valores e^{2} e e^{-2}. Assim, pela definição acima,
\lim_{x\to2}\operatorname{senh}x=\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}=\operatorname{senh}2.
(Em palavras: \operatorname{senh}x é contínua, logo o limite é o valor da função em 2.)

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4:
\lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{senh}x}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}=\frac{e^{2}-e^{-2}}{8}.
Também podemos escrever a resposta em forma compacta como \dfrac{\operatorname{senh}2}{4}, já que \operatorname{senh}2=\dfrac{e^{2}-e^{-2}}{2}.

Resposta

\dfrac{e^{2}-e^{-2}}{8}

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