Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a. Diga o que são f e a em cada caso.
lim x 2 x^4-64x-2

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
limxto 2x^4-64x-2
e pede para reconhecê-lo na forma da definição de derivada
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a,
Ou seja, precisaríamos ter
f(x)-f(a)=x^4-64 e a=2

Passo 2

Para que a=2 coincida com o denominador x-2, precisamos de
f(a)=f(2)=64
Se tentarmos, por exemplo, f(x)=x^4, então f(2)=2^4=16neq64.
Qualquer tentativa de acrescentar termos de x a x^4 (por exemplo x^4+Cx) faz com que a diferença f(x)-f(2) deixe de ser exatamente x^4-64 para todo x. Logo não há escolha de função f que satisfaça simultaneamente
f(x)-f(2)=x^4-64 forall x
e mantenha a=2.

Passo 3

Além disso, note que ao substituir x=2 no numerador obtemos
2^4-64=16-64=-48neq0,
de modo que o quociente (x^4-64)/(x-2) tende a pminfty quando xto2. Uma derivada finita só ocorre se o numerador também for zero em x=2, o que não acontece aqui.

Resposta

Não existe função f nem ponto a tais que
limxto2x^4-64x-2=f'(a),
pois o limite diverge e não se enquadra na forma da definição de derivada.

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