Determine
integral0^1 arctan x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 arctan x , dx
O conteúdo usado será integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as funções para aplicar integração por partes:
u = arctan x e dv = dx.
Calculamos
du = 11+x^2,dx,
v = integral dv = integral dx = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos
integral arctan x ,dx = u,v - integral v,du = xarctan x - integral x cdot 11+x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral x1+x^2,dx,
fazemos a substituição w = 1+x^2, dw = 2x,dx, logo
integral x1+x^2,dx = 12integral dww = 12lnl|wr| + C = 12lnl(1+x^2r) + C

Passo 5

Assim, uma primitiva de arctan x é
F(x) = xarctan x - 12lnl(1+x^2r)

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a 1:
integral0^1arctan x,dx = F(1) - F(0) = l(1cdotpi4 - tfrac12ln 2r) - l(0cdot0 - tfrac12ln1r) = pi4 - 12ln2

Resposta

pi4 - 12ln2

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