Use o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução do P.V.I.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Propor um palpite de solução particular para o termo forçante
. - Ajustar constantes pela condição inicial.
Passo 2
Resolva a homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o forçante é
e
já aparece na homogênea, usamos um palpite resonante multiplicado por
:
Calculamos
e substituímos em
.
Passo 4
Depois de derivar
e colar em
aparece
Para igualar a
precisamos
Assim
Passo 5
A solução geral é
Impondo
dá
Derivando,
Em
,
implica