Use o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução do P.V.I.
14 y "+16 y=8 sen(8 t) y(0)=14, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
14,y'' + 16,y = 8 sen(8t), y(0)=14, y'(0)=0
usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Propor um palpite de solução particular para o termo forçante 8sen(8t).
  3. Ajustar constantes pela condição inicial.

Passo 2

Resolva a homogênea
14,y'' + 16,y = 0
A equação característica é
14r^2 + 16 = 0 Longrightarrow r^2 + 64 = 0 Longrightarrow r = pm 8i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = A cos(8t) + B sen(8t)

Passo 3

Como o forçante é 8sen(8t) e sen(8t) já aparece na homogênea, usamos um palpite resonante multiplicado por t:
yp(t) = tl(M cos(8t) + N sen(8t)r)
Calculamos yp'' e substituímos em tfrac14 y'' +16y.

Passo 4

Depois de derivar yp e colar em
14yp'' + 16 yp
aparece
14yp'' + 16 yp = -4M sen(8t) + 4N cos(8t)
Para igualar a 8sen(8t) precisamos
4N = 0 Longrightarrow N=0, -4M = 8 Longrightarrow M = -2
Assim
yp(t) = -2t cos(8t)

Passo 5

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = A cos(8t) + B sen(8t) ;-; 2t cos(8t)
Impondo y(0)=tfrac14
y(0) = A - 0 = 14 Longrightarrow A = 14
Derivando,
y'(t) = -8A sen(8t) + 8B cos(8t) - 2cos(8t) + 16t sen(8t)
Em t=0, y'(0)=0 implica
y'(0) = 8B - 2 = 0 Longrightarrow B = 14

Resposta

boxed y(t) = 14cos(8t) + 14sen(8t) ;-; 2,t,cos(8t)

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