Para cada uma das listas de inteiros abaixo, dê uma fórmula simples ou regra que gere os termos de uma sequência de inteiros que comece com a lista dada. Assumindo que a sua fórmula esteja correta, dê os próximos três elementos da sequência.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a sequência
3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, …
Queremos achar uma regra (fórmula) que gere esses termos e, usando-a, dar os próximos três elementos.
Conteúdo: sequências numéricas, diferença de termos, progressão aritmética, somatório.
O que vamos precisar:
3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, …
Queremos achar uma regra (fórmula) que gere esses termos e, usando-a, dar os próximos três elementos.
Conteúdo: sequências numéricas, diferença de termos, progressão aritmética, somatório.
O que vamos precisar:
- Calcular as diferenças entre termos consecutivos;
- Reconhecer que essas diferenças formam uma P.A.;
- Usar somatório para achar a fórmula fechada
.
Passo 2
Vamos olhar as diferenças entre cada par de termos:
6−3=3
11−6=5
18−11=7
27−18=9
…
102−83=19
Perceba que as diferenças são 3, 5, 7, 9, … Ou seja, são todos os ímpares a partir de 3. Isso indica que a sequência cresce adicionando a cada passo um termo de uma P.A. de razão 2.
6−3=3
11−6=5
18−11=7
27−18=9
…
102−83=19
Perceba que as diferenças são 3, 5, 7, 9, … Ou seja, são todos os ímpares a partir de 3. Isso indica que a sequência cresce adicionando a cada passo um termo de uma P.A. de razão 2.
Passo 3
Teoria usada:
Se uma sequência é dada por
Se uma sequência é dada por
e
forma uma P.A., podemos somar esses
para achar uma fórmula fechada para
.
Aqui (quando
,
;
,
; etc.).
Aqui
Passo 4
Montando a fórmula fechada:
Sabendo que
, temos
Logo
Passo 5
Agora é só usar
para achar os próximos três termos:
a_{11} = 11^2 + 2 = 121 + 2 = 123
a_{12} = 12^2 + 2 = 144 + 2 = 146
a_{13} = 13^2 + 2 = 169 + 2 = 171
a_{11} = 11^2 + 2 = 121 + 2 = 123
a_{12} = 12^2 + 2 = 144 + 2 = 146
a_{13} = 13^2 + 2 = 169 + 2 = 171
Resposta
Fórmula:
.
Próximos três termos: 123, 146, 171.
Próximos três termos: 123, 146, 171.