Para cada uma das listas de inteiros abaixo, dê uma fórmula simples ou regra que gere os termos de uma sequência de inteiros que comece com a lista dada. Assumindo que a sua fórmula esteja correta, dê os próximos três elementos da sequência.
3,6,11,18,27,38,51,66,83,102, ldots

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a sequência
3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, …
Queremos achar uma regra (fórmula) que gere esses termos e, usando-a, dar os próximos três elementos.
Conteúdo: sequências numéricas, diferença de termos, progressão aritmética, somatório.
O que vamos precisar:
  • Calcular as diferenças entre termos consecutivos;
  • Reconhecer que essas diferenças formam uma P.A.;
  • Usar somatório para achar a fórmula fechada .

Passo 2

Vamos olhar as diferenças entre cada par de termos:
6−3=3
11−6=5
18−11=7
27−18=9

102−83=19
Perceba que as diferenças são 3, 5, 7, 9, … Ou seja, são todos os ímpares a partir de 3. Isso indica que a sequência cresce adicionando a cada passo um termo de uma P.A. de razão 2.

Passo 3

Teoria usada:
Se uma sequência é dada por
an+1=an + dn
e forma uma P.A., podemos somar esses para achar uma fórmula fechada para .
Aqui (quando , ; , ; etc.).

Passo 4

Montando a fórmula fechada:
an = a1 + sumk=1^n-1 dk = 3 + sumk=1^n-1(2k+1)
Sabendo que sumk=1^n-1(2k+1) = 2sumk=1^n-1k + sumk=1^n-11 = 2cdot(n-1)n2 + (n-1) = n(n-1) + (n-1) = (n-1)(n+1) = n^2 -1, temos
an = 3 + (n^2 - 1) = n^2 + 2
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Passo 5

Agora é só usar para achar os próximos três termos:
a_{11} = 11^2 + 2 = 121 + 2 = 123
a_{12} = 12^2 + 2 = 144 + 2 = 146
a_{13} = 13^2 + 2 = 169 + 2 = 171

Resposta

Fórmula: .
Próximos três termos: 123, 146, 171.

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