Para cada uma das listas de inteiros abaixo, dê uma fórmula simples ou regra que gere os termos de uma sequência de inteiros que comece com a lista dada. Assumindo que a sua fórmula esteja correta, dê os próximos três elementos da sequência.
1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011, ldots

Passo 1

Beleza, o exercício mostra a lista
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, …
e pede para achar uma regra simples que gere esses termos e, a partir dela, dar os próximos três.
Conteúdo: sequências e sistemas de numeração (bases).
O que vamos precisar: entender como funciona o sistema de base 2 (binário) e como “ler” essa escrita como se fosse um número decimal.

Passo 2

Olhando a lista: todos os termos só usam dígitos 0 e 1, e vão crescendo como se fossem contagem normal. Isso é justamente a contagem em base 2 (binário):
– 1 (base 2) = 1 (base 10)
– 10 (base 2) = 2 (base 10)
– 11 (base 2) = 3 (base 10)
– 100 (base 2) = 4 (base 10)
… e assim por diante.
Aqui a sacada é: o termo da sequência é o número n escrito em base 2, mas interpretado como se fosse um número em base 10.

Passo 3

Regra/​fórmula em LaTeX:
Para cada n>=1, seja
n = sumi=0^lfloorlog2 nrfloor di ,2^i, diin0,1
a expansão binária de n. Então o n-ésimo termo da sequência é
an = sumi=0^lfloorlog2 nrfloor di,10^i
Em palavras: “pega cada bit di de n e coloca esse bit como dígito decimal na posição 10^i”.

Passo 4

Agora, pra gerar os próximos três termos, basta continuar a contagem binária:
n=12 em base 2 é 1100, logo a12=1100.
n=13 em base 2 é 1101, logo a13=1101.
n=14 em base 2 é 1110, logo a14=1110.

Resposta

1100, 1101, 1110

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