a) Determine o(\mathrm{~s}) valor(es) de x \in \mathbb{R} para os quais a matriz A(x) é invertível;
b) Para o(s) valor(es) de x encontrado(s) no item anterior, determine a inversa de A(x).
é invertível? (item a).
2) Para esses valores de x encontrados, determinar a inversa A(x)^{-1} (item b).
Informações relevantes dadas no enunciado:
A matriz A(x) depende do parâmetro real x.
A matriz é quadrada de ordem 4.
A matriz tem entradas nulas em muitas posições (ver a matriz acima).
Passo 2
Entendendo o que significa “invertível” (aula rápida e prática): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Então nossa meta imediata é calcular \det(A(x)) e achar para quais x esse determinante não é zero.
Antes de calcular, observe a estrutura de A(x). Ela é “blocada” na diagonal: tem um bloco 1\times1 com entrada x (posição (1,1)), outro bloco 1\times1 com entrada 1 (posição (2,2)), e um bloco 2\times2 no canto inferior direito
B=\left[\begin{array}{ll} x & 1\\\\ 1 & x \end{array}\right].
As outras entradas entre esses blocos são zero. Portanto A(x) é uma matriz diagonal por blocos (block-diagonal) com blocos x, 1 e B.
Propriedade útil: o determinante de uma matriz diagonal por blocos é o produto dos determinantes dos blocos.
Agora calculamos \det(B). Para uma matriz 2\times2
\left[\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right]
temos \det=\;ad-bc. Aplicando a B com a=x,\;b=1,\;c=1,\;d=x,
\det(B)=x\cdot x - 1\cdot 1 = x^{2}-1.
Logo
\det(A(x)) = x(x^{2}-1) = x(x-1)(x+1).
Passo 4
Determinamos agora para quais x o determinante é diferente de zero: \det(A(x))\neq0 quando x\neq0, x\neq1 e x\neq-1. Portanto A(x) é invertível exatamente para
x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}.
(Esse é o resultado do item a). Vamos agora achar a inversa para esses x.
Passo 5
Estratégia para obter a inversa (explicação didática): para uma matriz diagonal por blocos, a inversa, quando existe, também é diagonal por blocos, com cada bloco sendo a inversa do bloco correspondente. Ou seja, se
Como calcular B^{-1} para a matriz B=\left[\begin{array}{cc}x & 1\\[2pt]1 & x\end{array}\right]? Uso da fórmula da inversa para 2\times2:
para \left[\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right] com determinante ad-bc\neq0,
Agora montamos a inversa completa A(x)^{-1} como matriz 4\times4 em blocos:
os dois primeiros blocos diagonais são \tfrac{1}{x} e 1, e o bloco 2\times2 é B^{-1}. Assim
Breve verificação (rápida e intuitiva): multiplicando blocos correspondentes x\cdot\tfrac{1}{x}=1, 1\cdot1=1 e B\cdot B^{-1}=I_{2}. Como a matriz é diagonal por blocos, o produto dá a identidade I_{4}.]