(2,5) Para cada x \in \mathbb{R}, considere a matriz
A(x)=\left[\begin{array}{llll} x & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & x & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & x \end{array}\right]
a) Determine o(\mathrm{~s}) valor(es) de x \in \mathbb{R} para os quais a matriz A(x) é invertível;
b) Para o(s) valor(es) de x encontrado(s) no item anterior, determine a inversa de A(x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Para quais valores de x\in\mathbb{R} a matriz
A(x)=\left[\begin{array}{llll} x & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & x & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & x \end{array}\right]
é invertível? (item a).
2) Para esses valores de x encontrados, determinar a inversa A(x)^{-1} (item b).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A matriz A(x) depende do parâmetro real x.
  • A matriz é quadrada de ordem 4.
  • A matriz tem entradas nulas em muitas posições (ver a matriz acima).

Passo 2

Entendendo o que significa “invertível” (aula rápida e prática): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Então nossa meta imediata é calcular \det(A(x)) e achar para quais x esse determinante não é zero.
Antes de calcular, observe a estrutura de A(x). Ela é “blocada” na diagonal: tem um bloco 1\times1 com entrada x (posição (1,1)), outro bloco 1\times1 com entrada 1 (posição (2,2)), e um bloco 2\times2 no canto inferior direito
B=\left[\begin{array}{ll} x & 1\\\\ 1 & x \end{array}\right].
As outras entradas entre esses blocos são zero. Portanto A(x) é uma matriz diagonal por blocos (block-diagonal) com blocos x, 1 e B.
Propriedade útil: o determinante de uma matriz diagonal por blocos é o produto dos determinantes dos blocos.

Passo 3

Aplicando a propriedade do passo anterior:
\det(A(x)) = \det([x])\cdot\det([1])\cdot\det(B) = x\cdot 1\cdot\det(B) = x\det(B).
Agora calculamos \det(B). Para uma matriz 2\times2
\left[\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right]
temos \det=\;ad-bc. Aplicando a B com a=x,\;b=1,\;c=1,\;d=x,
\det(B)=x\cdot x - 1\cdot 1 = x^{2}-1.
Logo
\det(A(x)) = x(x^{2}-1) = x(x-1)(x+1).

Passo 4

Determinamos agora para quais x o determinante é diferente de zero: \det(A(x))\neq0 quando x\neq0, x\neq1 e x\neq-1. Portanto A(x) é invertível exatamente para
x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}.
(Esse é o resultado do item a). Vamos agora achar a inversa para esses x.

Passo 5

Estratégia para obter a inversa (explicação didática): para uma matriz diagonal por blocos, a inversa, quando existe, também é diagonal por blocos, com cada bloco sendo a inversa do bloco correspondente. Ou seja, se
A(x)=\operatorname{diag}\big(x,\;1,\;B\big),
então (quando x\neq0 e \det(B)\neq0) temos
A(x)^{-1}=\operatorname{diag}\big(x^{-1},\;1^{-1},\;B^{-1}\big)=\operatorname{diag}\big(\tfrac{1}{x},\;1,\;B^{-1}\big).
Logo precisamos apenas calcular B^{-1}.

Passo 6

Como calcular B^{-1} para a matriz B=\left[\begin{array}{cc}x & 1\\[2pt]1 & x\end{array}\right]? Uso da fórmula da inversa para 2\times2:
para \left[\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right] com determinante ad-bc\neq0,
\left[\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right]^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d & -b\\\\ -c & a\end{array}\right].
Aplicando com a=x,\;b=1,\;c=1,\;d=x e lembrando que \det(B)=x^{2}-1\neq0 (isso exige x\neq\pm1):
B^{-1}=\frac{1}{x^{2}-1}\left[\begin{array}{cc}x & -1\\[2pt]-1 & x\end{array}\right].]

Passo 7

Agora montamos a inversa completa A(x)^{-1} como matriz 4\times4 em blocos:
os dois primeiros blocos diagonais são \tfrac{1}{x} e 1, e o bloco 2\times2 é B^{-1}. Assim
A(x)^{-1}= \left[\begin{array}{cccc} \tfrac{1}{x} & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{x}{x^{2}-1} & \dfrac{-1}{x^{2}-1}\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{-1}{x^{2}-1} & \dfrac{x}{x^{2}-1} \end{array}\right],
válida para x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}.
Breve verificação (rápida e intuitiva): multiplicando blocos correspondentes x\cdot\tfrac{1}{x}=1, 1\cdot1=1 e B\cdot B^{-1}=I_{2}. Como a matriz é diagonal por blocos, o produto dá a identidade I_{4}.]

Resposta

a) x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}\n
b)
A(x)^{-1}= \left[\begin{array}{cccc} \dfrac{1}{x} & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{x}{x^{2}-1} & \dfrac{-1}{x^{2}-1}\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{-1}{x^{2}-1} & \dfrac{x}{x^{2}-1} \end{array}\right],\quad x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}.

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