usando operações elementares de linha.
Informações dadas: a matriz A é 5\times5 com entradas explícitas (listadas acima). A única pergunta é o valor de \det(A).
Passo 2
Antes de começar, lembrando as regras das operações elementares sobre o determinante (para eu te ensinar e você aplicar na prova):
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Nossa estratégia: usar o pivô de cada coluna (eliminação por linhas) para transformar a matriz em triangular superior; então o determinante será o produto dos elementos da diagonal da matriz triangular, ajustado por qualquer troca de linha ou escalamento feito. Vou evitar multiplicar linhas por escalares (para não ter que corrigir o determinante), usarei apenas somas de múltiplos e, se necessário, trocas.
Passo 3
Começo pelo pivô \,1 na primeira linha, primeira coluna (linha 1). Vou zerar as entradas abaixo dele na coluna 1. Aplico:
Agora, na submatriz que começa na linha 2, coluna 2, precisamos de um pivô não nulo em coluna 2. A linha 2 atual tem zero na coluna 2, mas a linha 3 tem -1. Para colocar esse pivô na posição (2,2) faço a troca
R_2 \leftrightarrow R_3.
Trocar linhas muda o sinal do determinante: multiplica por -1. Depois da troca:
Nenhuma das operações desde a última troca de linhas alterou o determinante; então o único ajuste que fiz foi a troca R_2\leftrightarrow R_3, que multiplicou o determinante por -1.
Passo 8
Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim, o determinante da matriz atual (após a troca) é
Mas lembrando que fizemos uma troca de linhas R_2\leftrightarrow R_3, que multiplicou o determinante original por -1. Se chamarmos \det(A) o determinante da matriz original, temos