(2,5) Calcule o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\\\ 1 & -2 & 0 & -1 & -1 \\\\ 2 & 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
via operações elementares.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\\\ 1 & -2 & 0 & -1 & -1 \\\\ 2 & 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
usando operações elementares de linha.
Informações dadas: a matriz A é 5\times5 com entradas explícitas (listadas acima). A única pergunta é o valor de \det(A).

Passo 2

Antes de começar, lembrando as regras das operações elementares sobre o determinante (para eu te ensinar e você aplicar na prova):
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Nossa estratégia: usar o pivô de cada coluna (eliminação por linhas) para transformar a matriz em triangular superior; então o determinante será o produto dos elementos da diagonal da matriz triangular, ajustado por qualquer troca de linha ou escalamento feito. Vou evitar multiplicar linhas por escalares (para não ter que corrigir o determinante), usarei apenas somas de múltiplos e, se necessário, trocas.

Passo 3

Começo pelo pivô \,1 na primeira linha, primeira coluna (linha 1). Vou zerar as entradas abaixo dele na coluna 1. Aplico:
R_3 \leftarrow R_3 - R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
Essas operações não mudam o determinante (soma de múltiplo de outra linha). A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\\\ 0 & -1 & -3 & -2 & -2 \\\\ 0 & 2 & -5 & -3 & -2 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Agora, na submatriz que começa na linha 2, coluna 2, precisamos de um pivô não nulo em coluna 2. A linha 2 atual tem zero na coluna 2, mas a linha 3 tem -1. Para colocar esse pivô na posição (2,2) faço a troca
R_2 \leftrightarrow R_3.
Trocar linhas muda o sinal do determinante: multiplica por -1. Depois da troca:
\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 & -2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & -5 & -3 & -2 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Observação: até aqui o determinante acumulado é -1 vezes o determinante da matriz atual (por causa da troca).

Passo 5

Usando o pivô -1 em (2,2), vou zerar abaixo (linhas 4 e 5) na coluna 2. Para zerar:
R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2,\qquad R_5 \leftarrow R_5 + R_2.
Essas são somas de múltiplos de linhas, então não alteram o determinante. Calculando:
  • R_4 = [0,\,2,\, -5,\, -3,\, -2] + 2\cdot[0,\, -1,\, -3,\, -2,\, -2] = [0,\,0,\, -11,\, -7,\, -6].
  • R_5 = [0,\,1,\, -1,\, 1,\, 1] + [0,\, -1,\, -3,\, -2,\, -2] = [0,\,0,\, -4,\, -1,\, -1].
Matriz atual:
\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 & -2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -11 & -7 & -6 \\\\ 0 & 0 & -4 & -1 & -1 \end{array}\right]

Passo 6

Agora coluna 3: o pivô natural é 2 em (3,3). Vou usar R_3 para zerar as entradas abaixo na coluna 3. Para zerar -11 e -4 faremos combinações:
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{11}{2}R_3,\qquad R_5 \leftarrow R_5 + 2R_3.
Essas operações são soma de múltiplos (não alteram o determinante), embora uma envolva fração; é permitido e simplifica as contas. Calculando:
  • Para R_4: colunas 3,4,5 ficam -11 + \tfrac{11}{2}\cdot 2 = -11 + 11 = 0,
-7 + \tfrac{11}{2}\cdot 2 = -7 + 11 = 4,
-6 + \tfrac{11}{2}\cdot 0 = -6.
Então R_4 = [0,0,0,4,-6].
  • Para R_5: R_5 + 2R_3 -4 + 2\cdot 2 = 0,\qquad -1 + 2\cdot 2 = 3,\qquad -1 + 2\cdot 0 = -1,então R_5 = [0,0,0,3,-1].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 & -2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end{array}\right]

Passo 7

Agora coluna 4: pivô em (4,4) vale 4. Vou zerar abaixo (linha 5) usando
R_5 \leftarrow R_5 - \tfrac{3}{4}R_4.
É soma de múltiplo (não altera o determinante). Calculando a nova R_5:
  • coluna 4: 3 - \tfrac{3}{4}\cdot 4 = 3 - 3 = 0.
  • coluna 5: -1 - \tfrac{3}{4}\cdot(-6) = -1 + \tfrac{18}{4} = -1 + \tfrac{9}{2} = \tfrac{7}{2}.
Assim R_5 = [0,0,0,0,\tfrac{7}{2}]. A matriz ficou triangular superior:
\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 & -2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{7}{2} \end{array}\right]
Nenhuma das operações desde a última troca de linhas alterou o determinante; então o único ajuste que fiz foi a troca R_2\leftrightarrow R_3, que multiplicou o determinante por -1.

Passo 8

Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim, o determinante da matriz atual (após a troca) é
\det(\text{matriz atual}) = 1\cdot(-1)\cdot 2\cdot 4\cdot \tfrac{7}{2}.
Mas lembrando que fizemos uma troca de linhas R_2\leftrightarrow R_3, que multiplicou o determinante original por -1. Se chamarmos \det(A) o determinante da matriz original, temos
\det(A) = -1 \times \bigl(1\cdot(-1)\cdot 2\cdot 4\cdot \tfrac{7}{2}\bigr).

Passo 9

Faço as contas passo a passo:
1\cdot(-1) = -1,
-1\cdot 2 = -2,
-2\cdot 4 = -8,
-8\cdot \tfrac{7}{2} = -8 \cdot \tfrac{7}{2} = -\tfrac{56}{2} = -28.
Agora aplicando o fator -1 da troca:
\det(A) = -1 \times (-28) = 28.

Resposta

28

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