4{ }^{\underline{\mathrm{a}}} Questão

( \mathbf{2}, \mathbf{0} pontos) Dados os pontos A=(2,-3,4), B=(3,2,5), C=(-1,-1,2) e D=(3,2,-4), calcular proj \underset{C D}{\rightarrow} \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,-3,4), B=(3,2,5), C=(-1,-1,2) e D=(3,2,-4) e pede a projeção do vetor \overrightarrow{AB} sobre a direção do segmento \overrightarrow{CD}, ou seja, quer \operatorname{proj}_{\overrightarrow{CD}}\overrightarrow{AB}.
Informações relevantes dadas: as coordenadas de A,B,C,D. A tarefa é calcular o vetor projeção de \overrightarrow{AB} em cima de \overrightarrow{CD}.

Passo 2

Primeiro passo operacional: obter os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} subtraindo coordenadas finais menos iniciais. Lembrando que, para pontos P=(x_P,y_P,z_P) e Q=(x_Q,y_Q,z_Q), temos \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P,\;z_Q-z_P).
Calculemos:
\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2,\;2-(-3),\;5-4) = (1,\;5,\;1).
\overrightarrow{CD} = D - C = (3-(-1),\;2-(-1),\;-4-2) = (4,\;3,\;-6).

Passo 3

Agora a fórmula da projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor w é:
\operatorname{proj}_{w} v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\; w.
Aqui v\cdot w é o produto escalar (dot product) definido para vetores em \mathbb{R}^3 por
(v_1,v_2,v_3)\cdot(w_1,w_2,w_3)=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3.
E w\cdot w é simplesmente a soma dos quadrados das componentes de w (igual ao quadrado da norma de w). Vou usar essa fórmula com v=\overrightarrow{AB} e w=\overrightarrow{CD}.

Passo 4

Calcule o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}. Usando as componentes:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = (1,5,1)\cdot(4,3,-6)=1\cdot4+5\cdot3+1\cdot(-6).
Façamos as contas:
1\cdot4=4,\qquad 5\cdot3=15,\qquad 1\cdot(-6)=-6.
Somando:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=4+15-6=13.

Passo 5

Calcule \overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CD} (norma ao quadrado de \overrightarrow{CD}):
\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CD} = (4,3,-6)\cdot(4,3,-6)=4^2+3^2+(-6)^2.
Calcule os quadrados:
4^2=16,\qquad 3^2=9,\qquad (-6)^2=36.
Somando:
\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CD}=16+9+36=61.

Passo 6

Agora a razão escalar é
\lambda=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CD}}=\frac{13}{61}.
Esse \lambda é o fator pelo qual devemos multiplicar \overrightarrow{CD} para obter a projeção.

Passo 7

Multiplicamos \lambda por \overrightarrow{CD}:
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{CD}}\overrightarrow{AB}=\lambda\;\overrightarrow{CD}=\frac{13}{61}\,(4,3,-6).
Multiplicando componente a componente:
\frac{13}{61}\cdot4=\frac{52}{61},\qquad \frac{13}{61}\cdot3=\frac{39}{61},\qquad \frac{13}{61}\cdot(-6)= -\frac{78}{61}.
Logo:
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{CD}}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{52}{61},\;\frac{39}{61},\;-\frac{78}{61}\right).

Resposta

\left(\dfrac{52}{61},\dfrac{39}{61},-\dfrac{78}{61}\right)

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