( \mathbf{2}, \mathbf{0} pontos) Dados os pontos A=(2,-3,4), B=(3,2,5), C=(-1,-1,2) e D=(3,2,-4), calcular proj \underset{C D}{\rightarrow} \overrightarrow{A B}.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A=(2,-3,4), B=(3,2,5), C=(-1,-1,2) e D=(3,2,-4) e pede a projeção do vetor \overrightarrow{AB} sobre a direção do segmento \overrightarrow{CD}, ou seja, quer \operatorname{proj}_{\overrightarrow{CD}}\overrightarrow{AB}.
Informações relevantes dadas: as coordenadas de A,B,C,D. A tarefa é calcular o vetor projeção de \overrightarrow{AB} em cima de \overrightarrow{CD}.
Passo 2
Primeiro passo operacional: obter os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} subtraindo coordenadas finais menos iniciais. Lembrando que, para pontos P=(x_P,y_P,z_P) e Q=(x_Q,y_Q,z_Q), temos \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P,\;z_Q-z_P).
Calculemos:
\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2,\;2-(-3),\;5-4) = (1,\;5,\;1).
\overrightarrow{CD} = D - C = (3-(-1),\;2-(-1),\;-4-2) = (4,\;3,\;-6).
Passo 3
Agora a fórmula da projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor w é:
\operatorname{proj}_{w} v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\; w.
Aqui v\cdot w é o produto escalar (dot product) definido para vetores em \mathbb{R}^3 por
E w\cdot w é simplesmente a soma dos quadrados das componentes de w (igual ao quadrado da norma de w). Vou usar essa fórmula com v=\overrightarrow{AB} e w=\overrightarrow{CD}.
Passo 4
Calcule o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}. Usando as componentes: