(2,0) Encontre a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema abaixo e a use para apresentar uma descrição paramétrica de seu conjunto-solução:
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema dado e (2) usar essa forma para escrever uma descrição paramétrica do conjunto das soluções.
As informações dadas são as duas equações do sistema:
\begin{cases} x+2y-z=0,\\[4pt] 2x-y+z=0.
Vou montar a matriz aumentada dessas duas equações e trabalhar com ela.]
Passo 2
Montagem da matriz aumentada: cada linha corresponde a uma equação, as colunas às variáveis x,y,z e a última coluna é o termo independente (aqui todos zeros). A matriz aumentada é
Breve explicação (amigável) sobre operações de linha elementares: para chegar à forma escalonada reduzida (RREF) podemos usar três tipos de operações nas linhas: (a) trocar duas linhas, (b) multiplicar uma linha por uma constante não nula, (c) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é obter pivôs iguais a 1 e zeros acima e abaixo de cada pivô.
Passo 4
Primeira operação: eliminar o primeiro elemento da segunda linha usando a primeira linha. Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculo termo a termo:
Verificação rápida: cada pivô é 1 e em suas colunas só aparecem zeros nas outras linhas — isso é RREF.]
Passo 7
Interpretação das linhas da RREF como equações:
da primeira linha vem \;x + \tfrac{1}{5}z = 0\;, ou seja \;x = -\tfrac{1}{5}z\;.
da segunda linha vem \;y - \tfrac{3}{5}z = 0\;, ou seja \;y = \tfrac{3}{5}z\;.
Explicação didática sobre variáveis livres: aqui a coluna de z não contém pivô, então z é uma variável livre — podemos atribuir a ela um parâmetro e expressar x e y em função desse parâmetro. É comum escolher z=t (parâmetro t\in\mathbb{R}).
Passo 8
Escolhendo z=t com t\in\mathbb{R}, obtemos
x = -\tfrac{1}{5}t,\qquad y=\tfrac{3}{5}t,\qquad z=t.