(2,0) Encontre a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema abaixo e a use para apresentar uma descrição paramétrica de seu conjunto-solução:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=0 \\ 2 x-y+z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema dado e (2) usar essa forma para escrever uma descrição paramétrica do conjunto das soluções.
As informações dadas são as duas equações do sistema:
\begin{cases} x+2y-z=0,\\[4pt] 2x-y+z=0.
Vou montar a matriz aumentada dessas duas equações e trabalhar com ela.]

Passo 2

Montagem da matriz aumentada: cada linha corresponde a uma equação, as colunas às variáveis x,y,z e a última coluna é o termo independente (aqui todos zeros). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 3

Breve explicação (amigável) sobre operações de linha elementares: para chegar à forma escalonada reduzida (RREF) podemos usar três tipos de operações nas linhas: (a) trocar duas linhas, (b) multiplicar uma linha por uma constante não nula, (c) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é obter pivôs iguais a 1 e zeros acima e abaixo de cada pivô.

Passo 4

Primeira operação: eliminar o primeiro elemento da segunda linha usando a primeira linha. Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculo termo a termo:
  • coluna x: 2-2\cdot1=0,
  • coluna y: -1-2\cdot2=-1-4=-5,
  • coluna z: 1-2\cdot(-1)=1+2=3,
  • coluna aumentada: 0-2\cdot0=0.
    A matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 3 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora quero um pivô igual a 1 na segunda linha. Divido a segunda linha por -5: R_2 \leftarrow (-\tfrac{1}{5})R_2. Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & 0 \end{array}\right].
Explicação do que fiz: obter um 1 como primeiro elemento não nulo da linha facilita eliminar entradas acima dele.]

Passo 6

Eliminar o 2 acima do pivô da segunda linha para ficar com zero nessa posição: faço R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2. Calculo a nova primeira linha:
  • coluna x: 1-2\cdot0=1,
  • coluna y: 2-2\cdot1=0,
  • coluna z: -1-2\cdot\big(-\tfrac{3}{5}\big)=-1+ \tfrac{6}{5}=-\tfrac{5}{5}+\tfrac{6}{5}=\tfrac{1}{5},
  • coluna aumentada: 0-2\cdot0=0.
    A matriz final (forma escalonada reduzida) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{5} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & 0 \end{array}\right].
Verificação rápida: cada pivô é 1 e em suas colunas só aparecem zeros nas outras linhas — isso é RREF.]

Passo 7

Interpretação das linhas da RREF como equações:
  • da primeira linha vem \;x + \tfrac{1}{5}z = 0\;, ou seja \;x = -\tfrac{1}{5}z\;.
  • da segunda linha vem \;y - \tfrac{3}{5}z = 0\;, ou seja \;y = \tfrac{3}{5}z\;.
Explicação didática sobre variáveis livres: aqui a coluna de z não contém pivô, então z é uma variável livre — podemos atribuir a ela um parâmetro e expressar x e y em função desse parâmetro. É comum escolher z=t (parâmetro t\in\mathbb{R}).

Passo 8

Escolhendo z=t com t\in\mathbb{R}, obtemos
x = -\tfrac{1}{5}t,\qquad y=\tfrac{3}{5}t,\qquad z=t.
Em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{5}\\[4pt]\tfrac{3}{5}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Se preferir eliminar frações, posso escolher t=5s e obter a parametrização inteira
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
Ambas as formas representam o mesmo conjunto de soluções (um subespaço unidimensional).]

Resposta

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{5} & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & 0 \end{array}\right]
\{(x,y,z)=t\big(-\tfrac{1}{5},\tfrac{3}{5},1\big)\;|\;t\in\mathbb{R}\} \text{ (ou equivalentemente } \{s(-1,3,5)\;|\;s\in\mathbb{R}\}\text{).}

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