Para cada matriz abaixo, encontre todos os autovalores e autovetores.
\left(\begin{array}{cc}1 & \sqrt{3} \\\ \sqrt{3} & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\[4pt] \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}
e pede que eu encontre todos os autovalores (autovalores = valores próprios) e os autovetores correspondentes. Informações relevantes do enunciado: os quatro elementos da matriz são 1, \sqrt{3}, \sqrt{3} e -1. A tarefa é listar todos os pares (\lambda,v) com \lambda escalar e v vetor não nulo tais que Av=\lambda v.]

Passo 2

Definição e método que vou usar (explicando devagar): um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que
Av=\lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir solução não-trivial v para esse sistema homogêneo, o determinante deve ser zero:
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação em \lambda chama-se polinômio característico; resolvendo-a obtenho os autovalores. Depois, para cada autovalor \lambda, substituo em (A-\lambda I)v=0 e resolvo o sistema linear para encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 3

Vou montar e calcular o determinante \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & \sqrt{3} \\[4pt] \sqrt{3} & -1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(-1-\lambda)-(\sqrt{3})^2.
Agora calculo cada parte:
(1-\lambda)(-1-\lambda)=-(1-\lambda)(1+\lambda)=-(1-\lambda^2)=-1+\lambda^2,
e
(\sqrt{3})^2=3.
Portanto
\det(A-\lambda I)=(-1+\lambda^2)-3=\lambda^2-4.]

Passo 4

Agora resolvo o polinômio característico
\lambda^2-4=0.
Isto é uma equação quadrática simples; fatorando:
\lambda^2-4=(\lambda-2)(\lambda+2)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_1=2\quad\text{e}\quad\lambda_2=-2.

Passo 5

Agora vou encontrar os autovetores associados a \lambda_1=2\). Substituo \(\lambda=2\) em \(A-\lambda I\) e resolvo \((A-2I)v=0\): \[A-2I=\begin{pmatrix}1-2 & \sqrt{3} \\[4pt] \sqrt{3} & -1-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\[4pt] \sqrt{3} & -3\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}x\\[3pt] y\end{pmatrix}, o sistema linear é
\begin{cases} - x + \sqrt{3}\,y = 0,\\[4pt] \sqrt{3}\,x -3y = 0. \end{cases}
Essas duas equações são equivalentes (a segunda é \sqrt{3}\] vezes a primeira), então basta usar a primeira: \[- x + \sqrt{3}\,y = 0 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{3}\,y.\] Escolho \(y=1 (qualquer múltiplo não-nulo serve) para obter um autovetor simples:
v_1=\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Observação: qualquer vetor da forma k\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\[4pt] 1\end{pmatrix}, com k\neq 0, também é autovetor associado a \lambda_1=2.]

Passo 6

Agora encontro os autovetores para \lambda_2=-2\). Substituo \(\lambda=-2\) em \(A-\lambda I\) e resolvo \((A+2I)v=0\): \[A-(-2)I=A+2I=\begin{pmatrix}1+2 & \sqrt{3} \\[4pt] \sqrt{3} & -1+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & \sqrt{3} \\[4pt] \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema para v=\begin{pmatrix}x\\[3pt] y\end{pmatrix}:
\begin{cases} 3x + \sqrt{3}\,y = 0,\\[4pt] \sqrt{3}\,x + y = 0. \end{cases}
Novamente as equações são múltiplas entre si (a segunda é \frac{1}{3}\] da primeira), uso a segunda: \[\sqrt{3}\,x + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y=-\sqrt{3}\,x.\] Escolho \(x=1 para obter um autovetor simples:
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -\sqrt{3}\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo k\begin{pmatrix}1\\[4pt] -\sqrt{3}\end{pmatrix}, k\neq 0, também é autovetor associado a \lambda_2=-2.]

Passo 7

Pequena observação útil para a prova (não é obrigatório, mas ajuda a fixar): a matriz dada é simétrica ( A^T=A), e matrizes simétricas reais têm autovalores reais e autovetores ortogonais. Verifico a ortogonalidade dos vetores que achei:
\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\[4pt] 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt] -\sqrt{3}\end{pmatrix} =\sqrt{3}\cdot 1 + 1\cdot(-\sqrt{3})=0,
logo os autovetores são ortogonais como esperado.]

Resposta

\lambda=2,\; v=\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\[4pt] 1\end{pmatrix} (ou qualquer múltiplo não-nulo)
\lambda=-2,\; v=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -\sqrt{3}\end{pmatrix} (ou qualquer múltiplo não-nulo)]

Exercícios relacionados