Para cada matriz abaixo, encontre todos os autovalores e autovetores.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede que eu encontre todos os autovalores (autovalores = valores próprios) e os autovetores correspondentes. Informações relevantes do enunciado: os quatro elementos da matriz são
,
,
e
. A tarefa é listar todos os pares
com
escalar e
vetor não nulo tais que
.]
Passo 2
Definição e método que vou usar (explicando devagar): um número
é autovalor de
se existe vetor não-nulo
tal que
Isto é equivalente a
onde
é a matriz identidade. Para existir solução não-trivial
para esse sistema homogêneo, o determinante deve ser zero:
Essa equação em
chama-se polinômio característico; resolvendo-a obtenho os autovalores. Depois, para cada autovalor
, substituo em
e resolvo o sistema linear para encontrar os autovetores correspondentes.
Passo 3
Vou montar e calcular o determinante
. Primeiro escrevo
:
O determinante é
Agora calculo cada parte:
e
Portanto
Passo 4
Agora resolvo o polinômio característico
Isto é uma equação quadrática simples; fatorando:
Logo os autovalores são
Passo 5
Agora vou encontrar os autovetores associados a
Se
, o sistema linear é
Essas duas equações são equivalentes (a segunda é
(qualquer múltiplo não-nulo serve) para obter um autovetor simples:
Observação: qualquer vetor da forma
, com
, também é autovetor associado a
.]
Passo 6
Agora encontro os autovetores para
Escrevendo o sistema para
:
Novamente as equações são múltiplas entre si (a segunda é
para obter um autovetor simples:
Qualquer múltiplo
,
, também é autovetor associado a
.]
Passo 7
Pequena observação útil para a prova (não é obrigatório, mas ajuda a fixar): a matriz dada é simétrica (
), e matrizes simétricas reais têm autovalores reais e autovetores ortogonais. Verifico a ortogonalidade dos vetores que achei:
logo os autovetores são ortogonais como esperado.]