Verifique que o vetor dado satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar que o vetor
dado satisfaz a equação diferencial
Informações dadas (copiadas do enunciado):
Meta clara: calcular
e calcular
(onde
é a matriz dada) e mostrar que são iguais para todo
.
Passo 2
Relembrando regras úteis (explicação didática):
- Regra da derivada de exponencial com constante multiplicativa: se
é constante e é constante, então
Aqui
pode ser um número ou um vetor constante; a fórmula vale componente a componente.
- Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes saem da derivada.
- Linearidade da multiplicação matricial: para matriz
e vetores e escalar ,
Essas duas propriedades juntas permitem comparar
e
de forma conveniente.
Passo 3
Calcular
componente a componente usando a regra da derivada exponencial:
Derivando cada componente:
Logo,
Passo 4
Calcular
. É conveniente usar a decomposição fornecida
com
Pelo argumento da linearidade,
Agora calculamos
e
explicitamente.
Calculando
:
Observação:
. Então
.
Calculando
:
Observação:
. Então
.
Substituindo em
:
Escrevendo em componentes (reexpansão para comparar com
):
Passo 5
Comparando as duas expressões obtidas:
Elas são idênticas componente a componente, portanto a igualdade
vale para todo
. Conclusão: o vetor dado satisfaz a equação diferencial.