Em cada um dos Problemas abaixo, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais, descreva o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty, e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -4 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo de primeira ordem
e pede três coisas: (1) expressar a solução geral em termos de funções reais, (2) descrever o comportamento das soluções quando t\to\infty e (3) fazer o gráfico de algumas trajetórias do sistema.
Informações importantes dadas: a matriz do sistema é
A solução geral será obtida a partir dos autovalores e autovetores de A (se eles forem complexos, construiremos duas soluções reais usando parte real e imaginária).]
Passo 2
Primeiro vamos achar os autovalores de A. Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I):
Das equações segue -2i v_1-4 v_2=0 e v_1-2i v_2=0. Da segunda equação temos
v_1=2i v_2.
Tomando v_2=1 escolhemos o autovetor complexo
v=\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Escrevemos v em parte real e imaginária: \operatorname{Re}(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} e \operatorname{Im}(v)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}.]
Passo 4
Explico a ideia geral para transformar um autovalor complexo em duas soluções reais: se \lambda=\alpha+i\beta é autovalor e v autovetor complexo, então e^{\alpha t}\big(\operatorname{Re}(v)\cos(\beta t)-\operatorname{Im}(v)\sin(\beta t)\big) e e^{\alpha t}\big(\operatorname{Re}(v)\sin(\beta t)+\operatorname{Im}(v)\cos(\beta t)\big) são duas soluções reais linearmente independentes do sistema. Aqui \alpha determina exponencial de crescimento/decrescimento e \beta a frequência da oscilação.
onde A,B são constantes determinadas por \mathbf{x}(0).]
Passo 7
Comportamento quando t\to\infty: todas as soluções têm o fator multiplicativo e^{-t}. Como e^{-t}\to 0 quando t\to\infty, concluímos que todas as soluções tendem a \mathbf{0}. Além disso há um fator oscilatório com frequência 2 (as funções \cos(2t) e \sin(2t)), portanto as trajetórias descrevem espirais que se aproximam do ponto de equilíbrio na origem: é um espiral assintoticamente estável (um “sinalizador” ou “spiral sink”). A direção de rotação é contra‑horária (sentido anti‑horário), porque \beta=2>0; por exemplo, para \mathbf{x}(0)=(1,0) obtemos a velocidade inicial \mathbf{x}'(0)=A(1,0)=(-1,1), que aponta para cima e para a esquerda, indicando movimento inicial no sentido anti‑horário.
Passo 8
Trajetórias (descrição e exemplos concretos para plotar):
Curvas paramétricas prontas para desenhar: a expressão das componentes dá diretamente o traço no plano (x_1,x_2):
Como desenhar o retrato de fase: plote algumas curvas paramétricas com as constantes acima e com outras (por exemplo (c_1,c_2)=(1,1),(1,-1),(2,0) ), observe que todas fazem voltas com amplitude decrescente ~e^{-t}. Os eixos principais interceptam as trajetórias conforme os pontos onde \cos ou \sin são zero, e o centro (origem) é um foco estável.
Força aí — com as expressões acima dá para gerar rápido um esboço no papel ou usar um software (Octave/Matlab/Python) para desenhar as curvas paramétricas e ver claramente o espiral que vai para a origem.]
As soluções tendem a \mathbf{0} quando t\to\infty; o fator e^{-t} garante decaimento exponencial e as componentes \cos(2t),\sin(2t) provocam oscilações, logo as trajetórias são espirais assintoticamente estáveis (espiral sink) que giram no sentido contra‑horário.
Exemplos de trajetórias para plot: para \mathbf{x}(0)=(1,0) tem-se \mathbf{x}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[6pt]\tfrac12\sin(2t)\end{pmatrix}; para \mathbf{x}(0)=(0,1) tem-se \mathbf{x}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[6pt]\cos(2t)\end{pmatrix}.]