Em cada um dos Problemas abaixo, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais, descreva o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty, e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -4 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo de primeira ordem
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}-1 & -4\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{x}
e pede três coisas: (1) expressar a solução geral em termos de funções reais, (2) descrever o comportamento das soluções quando t\to\infty e (3) fazer o gráfico de algumas trajetórias do sistema.
Informações importantes dadas: a matriz do sistema é
A=\begin{pmatrix}-1 & -4\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
A solução geral será obtida a partir dos autovalores e autovetores de A (se eles forem complexos, construiremos duas soluções reais usando parte real e imaginária).]

Passo 2

Primeiro vamos achar os autovalores de A. Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I):
\det\!\left(\begin{pmatrix}-1-\lambda & -4\\[4pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix}\right)=(-1-\lambda)^2-(-4)(1)=(\lambda+1)^2+4.
Logo o polinômio característico é
\lambda^2+2\lambda+5=0.
Aplicando a fórmula quadrática obtemos
\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=-1\pm 2i.
Portanto os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1,2}=-1\pm 2i.]

Passo 3

Agora encontramos um autovetor para \lambda=-1+2i. Resolvendo (A-\lambda I)v=0 com \lambda=-1+2i obtemos a matriz
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-2i & -4\\[4pt]1 & -2i\end{pmatrix}.
Das equações segue -2i v_1-4 v_2=0 e v_1-2i v_2=0. Da segunda equação temos
v_1=2i v_2.
Tomando v_2=1 escolhemos o autovetor complexo
v=\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Escrevemos v em parte real e imaginária: \operatorname{Re}(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} e \operatorname{Im}(v)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Explico a ideia geral para transformar um autovalor complexo em duas soluções reais: se \lambda=\alpha+i\beta é autovalor e v autovetor complexo, então e^{\alpha t}\big(\operatorname{Re}(v)\cos(\beta t)-\operatorname{Im}(v)\sin(\beta t)\big) e e^{\alpha t}\big(\operatorname{Re}(v)\sin(\beta t)+\operatorname{Im}(v)\cos(\beta t)\big) são duas soluções reais linearmente independentes do sistema. Aqui \alpha determina exponencial de crescimento/decrescimento e \beta a frequência da oscilação.
No nosso caso \alpha=-1 e \beta=2, com
\operatorname{Re}(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \operatorname{Im}(v)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplicando a fórmula das soluções reais, definimos duas soluções fundamentais \phi_1(t) e \phi_2(t):
\phi_1(t)=e^{-t}\big(\operatorname{Re}(v)\cos(2t)-\operatorname{Im}(v)\sin(2t)\big),
\phi_2(t)=e^{-t}\big(\operatorname{Re}(v)\sin(2t)+\operatorname{Im}(v)\cos(2t)\big).
Substituindo \operatorname{Re}(v) e \operatorname{Im}(v) obtemos explicitamente
\phi_1(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[6pt]\cos(2t)\end{pmatrix},\qquad \phi_2(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[6pt]\sin(2t)\end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução geral é combinação linear dessas duas soluções:
\mathbf{x}(t)=c_1\phi_1(t)+c_2\phi_2(t),
onde c_1,c_2\in\mathbb{R} dependem das condições iniciais. Escrevendo as componentes:
x_1(t)=2e^{-t}\big(c_2\cos(2t)-c_1\sin(2t)\big),
x_2(t)=e^{-t}\big(c_1\cos(2t)+c_2\sin(2t)\big).
Uma forma alternativa, com constantes A,B, seria
\mathbf{x}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}2(A\cos(2t)-B\sin(2t))\\[6pt] (B\cos(2t)+A\sin(2t))\end{pmatrix},
onde A,B são constantes determinadas por \mathbf{x}(0).]

Passo 7

Comportamento quando t\to\infty: todas as soluções têm o fator multiplicativo e^{-t}. Como e^{-t}\to 0 quando t\to\infty, concluímos que todas as soluções tendem a \mathbf{0}. Além disso há um fator oscilatório com frequência 2 (as funções \cos(2t) e \sin(2t)), portanto as trajetórias descrevem espirais que se aproximam do ponto de equilíbrio na origem: é um espiral assintoticamente estável (um “sinalizador” ou “spiral sink”). A direção de rotação é contra‑horária (sentido anti‑horário), porque \beta=2>0; por exemplo, para \mathbf{x}(0)=(1,0) obtemos a velocidade inicial \mathbf{x}'(0)=A(1,0)=(-1,1), que aponta para cima e para a esquerda, indicando movimento inicial no sentido anti‑horário.

Passo 8

Trajetórias (descrição e exemplos concretos para plotar):
  • Curvas paramétricas prontas para desenhar: a expressão das componentes dá diretamente o traço no plano (x_1,x_2):
x_1(t)=2e^{-t}\big(c_2\cos(2t)-c_1\sin(2t)\big), \qquad x_2(t)=e^{-t}\big(c_1\cos(2t)+c_2\sin(2t)\big).
Escolhendo constantes diferentes obtem-se espirais similares girando contra‑horário e sendo atraídas para a origem.
  • Exemplos com condições iniciais simples (úteis para desenhar algumas trajetórias):
    • Para \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} resolvemos
      \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=c_1\phi_1(0)+c_2\phi_2(0)
      e como \phi_1(0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \phi_2(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix} obtemos c_1=0,\;c_2=\tfrac12. Assim
      \mathbf{x}(t)=\tfrac12\phi_2(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[6pt]\tfrac12\sin(2t)\end{pmatrix}.
      Esta trajetória começa em (1,0) e espirala para a origem com decaimento exponencial.
    • Para \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} temos c_1=1,\;c_2=0 e
      \mathbf{x}(t)=\phi_1(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[6pt]\cos(2t)\end{pmatrix}.
      Começa em (0,1) e espirala também para a origem.
  • Como desenhar o retrato de fase: plote algumas curvas paramétricas com as constantes acima e com outras (por exemplo (c_1,c_2)=(1,1),(1,-1),(2,0) ), observe que todas fazem voltas com amplitude decrescente ~ e^{-t}. Os eixos principais interceptam as trajetórias conforme os pontos onde \cos ou \sin são zero, e o centro (origem) é um foco estável.
Força aí — com as expressões acima dá para gerar rápido um esboço no papel ou usar um software (Octave/Matlab/Python) para desenhar as curvas paramétricas e ver claramente o espiral que vai para a origem.]

Resposta

\mathbf{x}(t)=c_1\,e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[6pt]\cos(2t)\end{pmatrix}+c_2\,e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[6pt]\sin(2t)\end{pmatrix}, \quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.
As soluções tendem a \mathbf{0} quando t\to\infty; o fator e^{-t} garante decaimento exponencial e as componentes \cos(2t),\sin(2t) provocam oscilações, logo as trajetórias são espirais assintoticamente estáveis (espiral sink) que giram no sentido contra‑horário.
Exemplos de trajetórias para plot: para \mathbf{x}(0)=(1,0) tem-se \mathbf{x}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}\cos(2t)\\[6pt]\tfrac12\sin(2t)\end{pmatrix}; para \mathbf{x}(0)=(0,1) tem-se \mathbf{x}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[6pt]\cos(2t)\end{pmatrix}.]

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