Informações relevantes: a matriz A está explícita (elementos -2,1,1,-2). A tarefa é listar todas as soluções (\lambda,v) com \lambda autovalor e v\neq 0 autovetor que satisfazem A v=\lambda v.]
Passo 2
Definição e método que usaremos (sem ainda aplicar): um par (\lambda,v) é autovalor e autovetor quando
A v = \lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir solução não trivial v\neq0 precisamos que a matriz A-\lambda I seja singular, ou seja
\det(A-\lambda I)=0.
A equação \det(A-\lambda I)=0 chama-se polinômio característico; suas raízes são os autovalores. Depois de achar cada \lambda, encontramos os autovetores resolvendo (A-\lambda I)v=0. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Formo a matriz A-\lambda I e calculo seu determinante:
Resolvo o polinômio característico \lambda^2+4\lambda+3=0. Faço a fatoração ou uso fórmula quadrática. A fatoração é direta porque 3=1\cdot3 e 1+3=4, então
Quero resolver (A+I)v=0. Escrevo v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}. O sistema é
\begin{cases} - x + y = 0,\\[4pt] x - y = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes e dão x=y\]. Portanto todos os vetores da forma
\[v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R},\\ t\neq0,\]
são autovetores associados a \(\lambda=-1. Em provas normalmente basta dar um representante não nulo, por exemplo \begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Agora os autovetores para \lambda=-3\). Faço \(A-(-3)I=A+3I\):
\[A+3I=\begin{pmatrix}-2+3 & 1 \\[4pt] 1 & -2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Resolvo (A+3I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}. O sistema é
\begin{cases} x + y = 0,\\[4pt] x + y = 0. \end{cases}
Isso dá y=-x\]. Logo todos os vetores da forma
\[v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R},\\ t\neq0,\]
são autovetores associados a \(\lambda=-3. Podemos escolher como representante \begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]
Passo 7
Resumo e observações rápidas para a prova: os autovetores escolhidos \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} são linearmente independentes, o que mostra que A é diagonalizável (no caso 2\times2, ter dois autovalores distintos já garante autovetores independentes). Em prova você pode sempre apresentar um autovetor por autovalor (qualquer múltiplo não-nulo serve). Pronto!]
Resposta
\lambda_{1}=-1, autovetores: múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
\lambda_{2}=-3, autovetores: múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]