Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de A, as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor.
A=(llll5 & 1 & 0 & 0 0 & 5 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & 0 & 4).

Passo 1

O enunciado dá a matriz A já na forma canônica de Jordan, com dois blocos de tamanho 2: um bloco de autovalor 5 e outro de autovalor 4. O que precisamos:
  • O polinômio característico chiA(lambda).
  • O polinômio mínimo mA(lambda).
  • As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
  • O índice (tamanho do maior bloco de Jordan) de cada autovalor.

Passo 2

Para obter o polinômio característico, usamos que A é bloco-diagonal, logo
chiA(lambda) =detl(A-lambda Ir) =det 5-lambda & 1 & 0 & 0 0 & 5-lambda & 0 & 0 0 & 0 & 4-lambda & 1 0 & 0 & 0 & 4-lambda
Cada bloco 2times2 dá fator (5-lambda)^2 e (4-lambda)^2, então
chiA(lambda)=(5-lambda)^2,(4-lambda)^2

Passo 3

O polinômio mínimo é o produto de (lambda -autovalor)^s, onde s é o tamanho do maior bloco de Jordan desse autovalor. Como cada bloco é de ordem 2, temos
mA(lambda)=(lambda-5)^2(lambda-4)^2

Passo 4

A multiplicidade algébrica de um autovalor é o expoente em chiA:
  • Para lambda=5: multiplicidade algébrica 2.
  • Para lambda=4: multiplicidade algébrica 2.
A multiplicidade geométrica é o número de blocos de Jordan de cada autovalor:
  • Para lambda=5: há um bloco de tamanho 2, logo geométrica 1.
  • Para lambda=4: há um bloco de tamanho 2, logo geométrica 1.

Passo 5

O índice de um autovalor é o tamanho do maior bloco de Jordan associado:
  • Para lambda=5: índice 2.
  • Para lambda=4: índice 2.

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda)=(5-lambda)^2,(4-lambda)^2
Polinômio mínimo:
mA(lambda)=(lambda-5)^2(lambda-4)^2
Para lambda=5:
  • Multiplicidade algébrica 2.
  • Multiplicidade geométrica 1.
  • Índice 2.
Para lambda=4:
  • Multiplicidade algébrica 2.
  • Multiplicidade geométrica 1.
  • Índice 2.

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