Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de , as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor. .
Passo 1
O enunciado dá a matriz A já na forma canônica de Jordan, com dois blocos de tamanho 2: um bloco de autovalor 5 e outro de autovalor 4. O que precisamos:
O polinômio característico chiA(lambda).
O polinômio mínimo mA(lambda).
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
O índice (tamanho do maior bloco de Jordan) de cada autovalor.
Passo 2
Para obter o polinômio característico, usamos que A é bloco-diagonal, logo
Cada bloco 2times2 dá fator (5-lambda)^2 e (4-lambda)^2, então
chiA(lambda)=(5-lambda)^2,(4-lambda)^2
Passo 3
O polinômio mínimo é o produto de (lambda -autovalor)^s, onde s é o tamanho do maior bloco de Jordan desse autovalor. Como cada bloco é de ordem 2, temos
mA(lambda)=(lambda-5)^2(lambda-4)^2
Passo 4
A multiplicidade algébrica de um autovalor é o expoente em chiA:
Para lambda=5: multiplicidade algébrica 2.
Para lambda=4: multiplicidade algébrica 2.
A multiplicidade geométrica é o número de blocos de Jordan de cada autovalor:
Para lambda=5: há um bloco de tamanho 2, logo geométrica 1.
Para lambda=4: há um bloco de tamanho 2, logo geométrica 1.
Passo 5
O índice de um autovalor é o tamanho do maior bloco de Jordan associado: