Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de , as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor. .
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=2&0&00&2&00&0&-1
que já está em forma canônica de Jordan. Precisamos usar:
– Definição de polinômio característico chiA(lambda)=det(lambda I - A).
– Regra para polinômio mínimo, que é o mínimo comum múltiplo dos fatores (lambda-autovalor)^tamanho do maior bloco.
– Multiplicidade algébrica é o expoente de cada fator em chiA.
– Multiplicidade geométrica é o número de blocos de Jordan de cada autovalor.
– Índice de um autovalor é o tamanho do maior bloco de Jordan associado a ele.
Para o polinômio mínimo muA(lambda) tomamos cada fator lambda-2 e lambda+1 elevado ao tamanho do maior bloco de Jordan: aqui todos os blocos são 1times1. Logo
muA(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)
Passo 4
A multiplicidade algébrica de cada autovalor é o expoente em chiA:
– Para lambda=2 temos expoente 2, logo alg(2)=2.
– Para lambda=-1 temos expoente 1, logo alg(-1)=1.
Passo 5
A multiplicidade geométrica de cada autovalor é o número de blocos de Jordan:
– Para lambda=2 há dois blocos 1times1, logo >=om(2)=2.
– Para lambda=-1 há um bloco 1times1, logo >=om(-1)=1.
Passo 6
O índice de cada autovalor é o tamanho do maior bloco de Jordan associado:
– Para lambda=2 o maior bloco é 1times1, então ind(2)=1.
– Para lambda=-1 o bloco é 1times1, então ind(-1)=1.