Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de A, as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor.
A=(rrr2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=2&0&00&2&00&0&-1
que já está em forma canônica de Jordan. Precisamos usar:
– Definição de polinômio característico chiA(lambda)=det(lambda I - A).
– Regra para polinômio mínimo, que é o mínimo comum múltiplo dos fatores (lambda-autovalor)^tamanho do maior bloco.
– Multiplicidade algébrica é o expoente de cada fator em chiA.
– Multiplicidade geométrica é o número de blocos de Jordan de cada autovalor.
– Índice de um autovalor é o tamanho do maior bloco de Jordan associado a ele.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico por
chiA(lambda)=det(lambda I-A) =detlambda-2&0&00&lambda-2&00&0&lambda+1 =(lambda-2)^2(lambda+1)

Passo 3

Para o polinômio mínimo muA(lambda) tomamos cada fator lambda-2 e lambda+1 elevado ao tamanho do maior bloco de Jordan: aqui todos os blocos são 1times1. Logo
muA(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)

Passo 4

A multiplicidade algébrica de cada autovalor é o expoente em chiA:
– Para lambda=2 temos expoente 2, logo alg(2)=2.
– Para lambda=-1 temos expoente 1, logo alg(-1)=1.

Passo 5

A multiplicidade geométrica de cada autovalor é o número de blocos de Jordan:
– Para lambda=2 há dois blocos 1times1, logo >=om(2)=2.
– Para lambda=-1 há um bloco 1times1, logo >=om(-1)=1.

Passo 6

O índice de cada autovalor é o tamanho do maior bloco de Jordan associado:
– Para lambda=2 o maior bloco é 1times1, então ind(2)=1.
– Para lambda=-1 o bloco é 1times1, então ind(-1)=1.

Resposta

chiA(lambda)=(lambda-2)^2(lambda+1)
muA(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)
Multiplicidades algébricas: alg(2)=2, alg(-1)=1.
Multiplicidades geométricas: >=om(2)=2, >=om(-1)=1.
Índices: ind(2)=1, ind(-1)=1.

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