Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de , as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor. .
Passo 1
O enunciado fornece a matriz A já em forma canônica de Jordan, com blocos de Jordan para os autovalores 4 e 9. Vamos usar os seguintes fatos da teoria de Jordan:
O polinômio característico de A é o produto de (lambda-lambdai)^ni, onde ni é o tamanho total dos blocos de Jordan associados a lambdai.
O polinômio mínimo de A tem fator (lambda-lambdai)^mi, onde mi é o tamanho do maior bloco de Jordan de lambdai.
A multiplicidade algébrica de lambdai é ni.
A multiplicidade geométrica de lambdai é o número de blocos de Jordan associados a lambdai.
O índice de lambdai é o tamanho do maior bloco de Jordan associado a lambdai.
Passo 2
Identificamos os blocos de Jordan em A:
– Para o autovalor 4: um bloco de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1, totalizando 3.
– Para o autovalor 9: dois blocos de tamanho 1, totalizando 2.
Logo, o polinômio característico é
chiA(lambda) = (lambda - 4)^3(lambda - 9)^2
Passo 3
O polinômio mínimo toma o expoente igual ao maior tamanho de bloco de cada autovalor. O maior bloco para 4 tem tamanho 2 e para 9 tem tamanho 1. Assim,
mA(lambda) = (lambda - 4)^2(lambda - 9)
Passo 4
Das potências em chiA temos as multiplicidades algébricas: mu<alg(4)=3 e mu<alg(9)=2.
O número de blocos de Jordan dá as multiplicidades geométricas: mu<>=o(4)=2 (dois blocos) e mu<>=o(9)=2 (dois blocos).
Passo 5
O índice de cada autovalor é o tamanho do seu maior bloco de Jordan:
índice de 4 é 2, índice de 9 é 1.