Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de A, as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor.
A=(lllll4 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 9).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A já em forma canônica de Jordan, com blocos de Jordan para os autovalores 4 e 9. Vamos usar os seguintes fatos da teoria de Jordan:
  1. O polinômio característico de A é o produto de (lambda-lambdai)^ni, onde ni é o tamanho total dos blocos de Jordan associados a lambdai.
  2. O polinômio mínimo de A tem fator (lambda-lambdai)^mi, onde mi é o tamanho do maior bloco de Jordan de lambdai.
  3. A multiplicidade algébrica de lambdai é ni.
  4. A multiplicidade geométrica de lambdai é o número de blocos de Jordan associados a lambdai.
  5. O índice de lambdai é o tamanho do maior bloco de Jordan associado a lambdai.

Passo 2

Identificamos os blocos de Jordan em A:
– Para o autovalor 4: um bloco de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1, totalizando 3.
– Para o autovalor 9: dois blocos de tamanho 1, totalizando 2.
Logo, o polinômio característico é
chiA(lambda) = (lambda - 4)^3(lambda - 9)^2

Passo 3

O polinômio mínimo toma o expoente igual ao maior tamanho de bloco de cada autovalor. O maior bloco para 4 tem tamanho 2 e para 9 tem tamanho 1. Assim,
mA(lambda) = (lambda - 4)^2(lambda - 9)

Passo 4

Das potências em chiA temos as multiplicidades algébricas:
mu<alg(4)=3 e mu<alg(9)=2.
O número de blocos de Jordan dá as multiplicidades geométricas:
mu<>=o(4)=2 (dois blocos) e mu<>=o(9)=2 (dois blocos).

Passo 5

O índice de cada autovalor é o tamanho do seu maior bloco de Jordan:
índice de 4 é 2, índice de 9 é 1.

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda) = (lambda - 4)^3(lambda - 9)^2
Polinômio mínimo:
mA(lambda) = (lambda - 4)^2(lambda - 9)
Autovalor ,4:
mu< algébrica=3, mu< >=ométrica=2, índice=2 ééí
Autovalor ,9:
mu< algébrica=2, mu< >=ométrica=2, índice=1 ééí

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