Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
\left{1-2 x,-x{3}+x{2}+3 x, 2 x{3}+x{2}+1,3 x^{3}+2 x+3\right} \subset P_{3}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
,1-2x,,-x^3+x^2+3x,;2x^3+x^2+1,;3x^3+2x+3subset P3(R)
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Conteúdo: independência linear em espaços de polinômios.
Estratégia: escrever cada polinômio como vetor de coeficientes na base 1,x,x^2,x^3, montar a combinação linear nula e resolver o sistema.

Passo 2

Associamos a cada polinômio o vetor de coeficientes (constante,;coefx,;coefx^2,;coefx^3):
f1=1-2xlongmapsto(1,,-2,,0,,0),
f2=-x^3+x^2+3xlongmapsto(0,,3,,1,,-1),
f3=2x^3+x^2+1longmapsto(1,,0,,1,,2),
f4=3x^3+2x+3longmapsto(3,,2,,0,,3)

Passo 3

Considere a combinação
a,f1+b,f2+c,f3+d,f4=0
que em coordenadas gera o sistema
a + c + 3d = 0, -2a +3b +2d = 0, b + c = 0, -b +2c +3d = 0

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo:
– Da terceira equação b+c=0 segue c=-b.
– Substituindo em -b+2c+3d=0 -b+2(-b)+3d=0implies d=b.
– Na segunda equação -2a+3b+2d=0 fica -2a+3b+2b=0implies a=tfrac52,b.
– Finalmente, na primeira:
a+c+3d=tfrac52b+(-b)+3b=tfrac92b=0
logo b=0. Daí a=c=d=0.

Resposta

O único vetor solução é o trivial, portanto o conjunto é linearmente independente (LI).

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