Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
\left{1-2 x,-x{3}+x{2}+3 x, 2 x{3}+x{2}+1,3 x^{3}+2 x+3\right} \subset P_{3}(\mathbb{R})
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Conteúdo: independência linear em espaços de polinômios.
Estratégia: escrever cada polinômio como vetor de coeficientes na base , montar a combinação linear nula e resolver o sistema.
Passo 2
Associamos a cada polinômio o vetor de coeficientes :
Passo 3
Considere a combinação
que em coordenadas gera o sistema
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo:
– Da terceira equação b+c=0 segue c=-b.
– Substituindo em -b+2c+3d=0 dá -b+2(-b)+3d=0implies d=b.
– Na segunda equação -2a+3b+2d=0 fica -2a+3b+2b=0implies a=tfrac52,b.
– Finalmente, na primeira:
a+c+3d=tfrac52b+(-b)+3b=tfrac92b=0
logo b=0. Daí a=c=d=0.
Resposta
O único vetor solução é o trivial, portanto o conjunto é linearmente independente (LI).