Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de , as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor. .
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz A em forma canônica de Jordan, ou seja, já está organizada em blocos de Jordan ao longo da diagonal. Os autovalores visíveis nos blocos diagonais são 7, 5 e 0. Para resolver, vamos usar:
– Definição de polinômio característico como chiA(t)=det(tI - A).
– Definição de polinômio mínimo como o menor polinômio que anula A, cujas potências de (t-lambda) vêm do tamanho máximo de bloco de Jordan para lambda.
– Para cada autovalor lambda, bul<=t multiplicidade algébrica = soma dos tamanhos dos blocos de Jordan de lambda, bul<=t multiplicidade geométrica = número de blocos de Jordan de lambda, bul<=t índice de lambda = tamanho do maior bloco de Jordan de lambda.
Passo 2
Identificamos os blocos de Jordan em A:
– Para lambda=7: dois blocos 1times1.
– Para lambda=5: um bloco 2times2 e um bloco 1times1.
– Para lambda=0: um bloco 1times1.
Logo a multiplicidade algébrica de cada autovalor é o total de linhas nesses blocos, e o polinômio característico é
O polinômio mínimo precisa de cada fator (t-lambda) elevado ao maior tamanho de bloco de Jordan de lambda. Assim:
– maior bloco para lambda=7 tem tamanho 1,
– maior bloco para lambda=5 tem tamanho 2,
– maior bloco para lambda=0 tem tamanho 1.
Logo
mA(t)= t^1,(t-7)^1,(t-5)^2 = t,(t-7),(t-5)^2
Passo 4
Agora as multiplicidades e índices:
Para lambda=7:
– multiplicidade algébrica ma(7)=2,
– há 2 blocos Rightarrow multiplicidade geométrica mg(7)=2.
Para lambda=5:
– multiplicidade algébrica ma(5)=2+1=3,
– há 2 blocos Rightarrow multiplicidade geométrica mg(5)=2.
Para lambda=0:
– multiplicidade algébrica ma(0)=1,
– há 1 bloco Rightarrow multiplicidade geométrica mg(0)=1.
Passo 5
Os índices (tamanho da maior cadeia de Jordan) são:
– índice de 7 é 1,
– índice de 5 é 2,
– índice de 0 é 1.