Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de A, as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor.
A=(llllll7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 5 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A em forma canônica de Jordan, ou seja, já está organizada em blocos de Jordan ao longo da diagonal. Os autovalores visíveis nos blocos diagonais são 7, 5 e 0. Para resolver, vamos usar:
– Definição de polinômio característico como chiA(t)=det(tI - A).
– Definição de polinômio mínimo como o menor polinômio que anula A, cujas potências de (t-lambda) vêm do tamanho máximo de bloco de Jordan para lambda.
– Para cada autovalor lambda,
bul<=t multiplicidade algébrica = soma dos tamanhos dos blocos de Jordan de lambda,
bul<=t multiplicidade geométrica = número de blocos de Jordan de lambda,
bul<=t índice de lambda = tamanho do maior bloco de Jordan de lambda.

Passo 2

Identificamos os blocos de Jordan em A:
– Para lambda=7: dois blocos 1times1.
– Para lambda=5: um bloco 2times2 e um bloco 1times1.
– Para lambda=0: um bloco 1times1.
Logo a multiplicidade algébrica de cada autovalor é o total de linhas nesses blocos, e o polinômio característico é
chiA(t)= (t-7)^2,(t-5)^3,(t-0)^1 = t,(t-7)^2,(t-5)^3

Passo 3

O polinômio mínimo precisa de cada fator (t-lambda) elevado ao maior tamanho de bloco de Jordan de lambda. Assim:
– maior bloco para lambda=7 tem tamanho 1,
– maior bloco para lambda=5 tem tamanho 2,
– maior bloco para lambda=0 tem tamanho 1.
Logo
mA(t)= t^1,(t-7)^1,(t-5)^2 = t,(t-7),(t-5)^2

Passo 4

Agora as multiplicidades e índices:
Para lambda=7:
– multiplicidade algébrica ma(7)=2,
– há 2 blocos Rightarrow multiplicidade geométrica mg(7)=2.
Para lambda=5:
– multiplicidade algébrica ma(5)=2+1=3,
– há 2 blocos Rightarrow multiplicidade geométrica mg(5)=2.
Para lambda=0:
– multiplicidade algébrica ma(0)=1,
– há 1 bloco Rightarrow multiplicidade geométrica mg(0)=1.

Passo 5

Os índices (tamanho da maior cadeia de Jordan) são:
– índice de 7 é 1,
– índice de 5 é 2,
– índice de 0 é 1.

Resposta

Polinômio característico:
chiA(t)=t,(t-7)^2,(t-5)^3
Polinômio mínimo:
mA(t)=t,(t-7),(t-5)^2
Autovalor lambda=7: ma=2,;mg=2,;índice=1í
Autovalor lambda=5: ma=3,;mg=2,;índice=2í
Autovalor lambda=0: ma=1,;mg=1,;índice=1í

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