Qual o resto da divisão de 15 ! por 17 ?

Passo 1

O problema pede o resto da divisão de 15! por 17. Isso é um cálculo de fatorial em aritmética modular, e vamos usar o Teorema de Wilson, que trata de fatoriais de primos.

Passo 2

O Teorema de Wilson diz que, se p é primo, então
(p-1)! equiv -1 pmodp
Como 17 é primo, temos
16! equiv -1 pmod17

Passo 3

Escrevendo 16! em função de 15!:
16! = 16 cdot 15!
Logo,
16 cdot 15! equiv -1 pmod17
Para isolar 15!, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 16 módulo 17. Como 16 equiv -1 pmod17, seu inverso também é -1. Assim,
15! equiv (-1)cdot(-1) equiv 1 pmod17

Resposta

O resto da divisão de 15! por 17 é 1.

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