Cada matriz abaixo está na forma canônica de Jordan. Determine os polinômios característico e mínimo de A, as multiplicidades algébricas e geométrica de cada autovalor e o índice de cada autovalor.
A=(rrrrrrrrr-2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0).

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz A em forma canônica de Jordan de ordem 9 e pede: polinômio característico, polinômio mínimo, multiplicidades algébricas e geométricas e índice de cada autovalor. O conteúdo aqui é análise de forma de Jordan: cada bloco de Jordan de tamanho k contribui com k à multiplicidade algébrica e ao grau do fator (lambda-lambdai) no polinômio característico, e o maior tamanho de bloco dá o expoente no polinômio mínimo.

Passo 2

Identificamos os blocos de Jordan para o autovalor lambda=-2. Observando as entradas
-2 & 1 & 0 0 & -2 & 1 0 & 0 & -2
nas linhas e colunas 1 a 3, temos um bloco de tamanho 3; o submatriz
-2 & 10 & -2 nas posições 4–5 é um bloco de tamanho 2; e o elemento isolado -2 na posição 6 é um bloco de tamanho 1. Logo, para -2 os tamanhos de blocos são 3, 2 e 1.

Passo 3

Para o autovalor lambda=0, observamos a submatriz nas linhas e colunas 7 a 9:
0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ,
que é um único bloco de Jordan de tamanho 3.

Passo 4

O polinômio característico chiA(lambda) é o produto de (lambda-lambdai)^k para cada bloco de tamanho k. Isso dá
chiA(lambda)=(lambda+2)^3,(lambda+2)^2,(lambda+2)^1,lambda^3=(lambda+2)^6,lambda^3

Passo 5

O polinômio mínimo muA(lambda) é obtido tomando para cada autovalor o maior tamanho de bloco, ou seja, o máximo k tal que exista um bloco Jk(lambdai). Assim,
muA(lambda)=(lambda+2)^3,lambda^3

Passo 6

A multiplicidade algébrica de um autovalor é o expoente de (lambda-lambdai) em chiA: para lambda=-2 vale 6, e para lambda=0 vale 3. A multiplicidade geométrica é o número de blocos de Jordan de cada autovalor: para lambda=-2 há 3 blocos e para lambda=0 há 1 bloco.

Passo 7

O índice de um autovalor é o tamanho do maior bloco de Jordan correspondente. Portanto, ind(-2)=3 e ind(0)=3.

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda)=(lambda+2)^6,lambda^3
Polinômio mínimo:
muA(lambda)=(lambda+2)^3,lambda^3
Multiplicidades algébricas: alg(-2)=6, alg(0)=3.
Multiplicidades geométricas: >=o(-2)=3, >=o(0)=1.
Índices: ind(-2)=3, ind(0)=3.

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