Seja A X=B um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
(ccccc 1 & * & * & * & * 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha & 0 & alpha^2-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ),
onde * é um número real qualquer. Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado considera o sistema AX=B com matriz aumentada em forma escalonada
1 & * & * & * & * 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha & 0 & alpha^2-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1)alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ,
onde há 4 incógnitas e 6 equações (duas linhas nulas no final). Para discutir existência e unicidade de solução precisamos comparar o número de pivôs (coeficientes não nulos nas colunas das incógnitas) com o número de incógnitas e verificar se há alguma linha do tipo
0;0;0;0mid c, cneq0,
que geraria contradição.

Passo 2

Para ter solução única é preciso que haja precisamente
Da primeira desigualdade vem . A terceira exige e . Em conjunto,

Passo 3

Para não ter solução deve surgir uma linha inconsistente, isto é, um pivô zero mas termo independente não zero.
  1. Se alpha=0, na linha 2 o coeficiente alpha(alpha^2-1)=0 e o termo independente alpha+1=1neq0, daí 0=1 impossível.
  2. Se alpha=1, na linha 2 tem alpha(alpha^2-1)=0 e termo independente alpha+1=2neq0, daí 0=2 impossível.
    Logo não há solução para
alpha=0oualpha=1

Passo 4

Para infinitas soluções, o sistema deve ser consistente (não gerar contradição) e ter menos de 4 pivôs, gerando variáveis livres. O único valor que zera algum pivô sem criar contradição é alpha=-1:
  • Linha 2: coeficiente alpha(alpha^2-1)=(-1)(1-1)=0 e termo independente alpha+1=0, dá 0=0.
  • Linha 3: coeficiente alpha=-1neq0 gera pivô na coluna 3.
  • Linha 4: coeficiente (alpha+1)alpha=0 e termo independente 0, dá 0=0.
    Restam pivôs nas colunas 1 e 3, e colunas 2 e 4 são livres, sem contradição. Portanto há infinitas soluções para
alpha=-1

Resposta

Sistema com solução única: alphaneq -1,0,1
Sistema sem solução: alpha=0 ou alpha=1
Sistema com infinitas soluções: alpha=-1

Exercícios relacionados