Para cada uma das matrizes abaixo, a) calcular A^n, e expressar A^3 em função de I, A, A^2 b) Calcular e^t A.
A=[lll0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
A = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
a) encontrar A^n em função de n e, em particular, escrever A^3 como combinação de I, A e A^2;
b) calcular a matriz exponencial
e^tA = sumk=0^infty t^kk!,A^k
O conteúdo principal aqui é que A é estritamente triangular superior de ordem 3, logo é nilpotente de índice 3 (isto é, A^3=0).

Passo 2

Calcular A^2 diretamente usando multiplicação de matrizes:
A^2 = Acdot A = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Em seguida,
A^3 = Acdot A^2 = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0

Passo 3

Como A^3=0, para qualquer n>=3 temos
A^n = A^n-3,A^3 = A^n-3,0 = 0
Logo
A^n = I, & n=0, A, & n=1, A^2, & n=2, 0, & n>=3

Passo 4

Em particular, podemos escrever
A^3 = 0 = 0cdot I + 0cdot A + 0cdot A^2

Passo 5

Para calcular e^tA usamos a série
e^tA = sumk=0^infty t^kk!,A^k
Como A^k=0 para k>=3, só os termos k=0,1,2 sobrevivem:
e^tA = t^00!I + t^11!A + t^22!A^2 = I + t,A + t^22,A^2

Resposta

a)
A^n = I, & n=0, A, & n=1, A^2, & n=2, 0, & n>=3, A^3 = 0 = 0,I +0,A +0,A^2
b)
e^tA = I + t,A + t^22,A^2

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