Para cada uma das matrizes abaixo, a) calcular
, e expressar
em função de
Calcular
.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a matriz
a) encontrar
A^n em função de
n e, em particular, escrever
A^3 como combinação de
I ,
A e
A^2 ;
b) calcular a matriz exponencial
b) calcular a matriz exponencial
O conteúdo principal aqui é que
A é estritamente triangular superior de ordem 3, logo é nilpotente de índice 3 (isto é,
A^3=0 ).
Passo 2
Calcular
A^2 diretamente usando multiplicação de matrizes:
Em seguida,
Passo 3
Como
A^3=0 , para qualquer
n>=3 temos
Logo
Passo 4
Em particular, podemos escrever
Passo 5
Para calcular
e^tA usamos a série
Como
A^k=0 para
k>=3 , só os termos
k=0,1,2 sobrevivem:
Resposta
a)
b)