Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
If=integral d xraiz4+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
If = integral dxraiz4 + x^2
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos usar a ideia de transformar x^2+a^2 em função de tangente.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2tantheta,
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dx = 2sec^2theta,dtheta
e
raiz4 + x^2 =raiz4 + 4tan^2theta =2sectheta

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral dxraiz4 + x^2 =integral 2sec^2theta,dtheta2sectheta =integral sectheta,dtheta

Passo 4

Sabemos que
integral sectheta,dtheta =lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 5

Voltando à variável x, temos
tantheta = x2, sectheta = raiz1+tan^2theta =raiz4 + x^22
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If =ln!l|raiz4+x^22+x2r|+C =ln!l|x+raiz4+x^2r|+C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

integral dxraiz4 + x^2 =lnl|x+raiz4+x^2r|+C

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