Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=(4 e^x)^3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(4e^xr)^3x
O conteúdo é derivação de funções da forma u(x)^v(x). Para resolver sem perder tempo, vamos usar diferenciação logarítmica, que transforma potências em produtos.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural a f(x):
ln f(x) = lnl((4e^x)^3xr) = 3x;lnl(4e^xr)
Isso vale porque ln(a^b) = b,ln a.

Passo 3

Dentro do logaritmo, usamos ln(ab)=ln a+ln b e ln(e^x)=x:
ln f(x) = 3xl(ln 4 + xr)

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. De um lado,
ddx[ln f(x)] = f'(x)f(x)
Do outro, aplicamos regra do produto em 3x(ln4 + x):
ddx[3x(ln4 + x)] = 3;l(ln4 + xr) ;+; 3xcdot1 = 3ln4 + 6x
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f'(x)f(x) = 3ln4 + 6x

Passo 5

Isolando f'(x), obtemos
f'(x) = f(x),l(3ln4 + 6xr) = l(4e^xr)^3x,l(3ln4 + 6xr)

Resposta

f'(x) = l(4e^xr)^3x,l(3ln4 + 6xr)

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