Para cada uma das matrizes abaixo, a) calcular , e expressar em função de Calcular . .
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a matriz
A = 2&0&00&1&00&1&1
e queremos (a) achar A^n e expressar A^3 em função de I,A,A^2, e (b) calcular e^tA. O conteúdo envolve potências de matriz em bloco triangular e exponencial de matriz via série de potências ou forma de Jordan.
Passo 2
Observamos que A é triangular em blocos, com o bloco 1times1 igual a (2) e o bloco 2times2
B = 1&01&1
Logo
A = 2&00&B,
e basta calcular 2^n para o primeiro bloco e B^n para o segundo.
Passo 3
No bloco B definimos
N = B - I = 0&01&0,
que satisfaz N^2=0. Pelo binômio de Newton em matrizes,
B^n = (I+N)^n = I + n,N
Passo 4
Portanto
A^n = 2^n & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & n & 1
Em particular,
A^3 = 8&0&0 0&1&0 0&3&1
Passo 5
O polinômio mínimo de A é
m(lambda)=(lambda-2)(lambda-1)^2,
de grau 3, então I,A,A^2 formam base para todas as potências de grau >=2. Escrevemos
A^3 = c0I + c1A + c2A^2
e determinamos c0,c1,c2 igualando entradas da matriz.
Passo 6
Das equações em
cuja solução é , . Assim
Passo 7
Para e^tA usamos a série
e^tA = sumk=0^infty t^kk!A^k
e a mesma decomposição em blocos. No bloco 1times1 fica e^2t. No bloco 2times2 temos