Para cada uma das matrizes abaixo, a) calcular A^n, e expressar A^3 em função de I, A, A^2 b) Calcular e^t A.
A=[lll2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1].

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a matriz
A = 2&0&00&1&00&1&1
e queremos (a) achar A^n e expressar A^3 em função de I,A,A^2, e (b) calcular e^tA. O conteúdo envolve potências de matriz em bloco triangular e exponencial de matriz via série de potências ou forma de Jordan.

Passo 2

Observamos que A é triangular em blocos, com o bloco 1times1 igual a (2) e o bloco 2times2
B = 1&01&1
Logo
A = 2&00&B,
e basta calcular 2^n para o primeiro bloco e B^n para o segundo.

Passo 3

No bloco B definimos
N = B - I = 0&01&0,
que satisfaz N^2=0. Pelo binômio de Newton em matrizes,
B^n = (I+N)^n = I + n,N

Passo 4

Portanto
A^n = 2^n & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & n & 1
Em particular,
A^3 = 8&0&0 0&1&0 0&3&1

Passo 5

O polinômio mínimo de A é
m(lambda)=(lambda-2)(lambda-1)^2,
de grau 3, então I,A,A^2 formam base para todas as potências de grau >=2. Escrevemos
A^3 = c0I + c1A + c2A^2
e determinamos c0,c1,c2 igualando entradas da matriz.

Passo 6

Das equações em
cuja solução é , . Assim

Passo 7

Para e^tA usamos a série
e^tA = sumk=0^infty t^kk!A^k
e a mesma decomposição em blocos. No bloco 1times1 fica e^2t. No bloco 2times2 temos
e^tB = e^t(I+N) = e^te^tN = e^t(I + tN),
pois N^2=0.

Passo 8

Reagrupando em 3times3, obtém-se
e^tA = e^2t&0&0 0&e^t&0 0&t,e^t&e^t

Resposta

(a) A^n = 2^n&0&00&1&00&n&1, A^3 = 2I - 5A + 4A^2
(b) e^tA = e^2t&0&00&e^t&00&t,e^t&e^t

Exercícios relacionados