Exercício 2.1.2. Mostre que:
integral xraizx^4-2 d x=12 ln |x^2+raizx^4-2|+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral xraizx^4-2,dx
Este é um caso de substituição que transforma a expressão sob a raiz num quadrado simples. Vamos usar a substituição u=x^2.

Passo 2

Fazendo u = x^2 temos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du
Além disso, raizx^4-2=raizu^2-2. Substituindo na integral original, obtemos
integral xraizx^4-2,dx = integral 1raizu^2-2;12,du = 12integral duraizu^2-2

Passo 3

Reconhecemos a integral padrão
integral duraizu^2-a^2 =lnl|u+raizu^2-a^2r|+C,
com a^2=2, ou seja, a=raiz2. Portanto,
12integral duraizu^2-2 =12lnl|u+raizu^2-2r|+C

Passo 4

Voltando à variável x via u=x^2, obtemos
12lnl|x^2+raizx^4-2r|+C

Resposta

integral xraizx^4-2,dx =12lnl|x^2+raizx^4-2r|+C

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