Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
Ij=integral d xraiz9-(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ij=integral dxraiz9-(x-1)^2
Esse tipo de integral é do formato
integral duraiza^2-u^2
e a teoria nos diz que podemos usar a substituição trigonométrica
u = asintheta
para simplificar a raiz e resolver a integral.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = x-1, du = dx
A integral vira
integral duraiz9 - u^2

Passo 3

Aplicamos a substituição trigonométrica adequada ao caso a=3:
u = 3sintheta, du = 3costheta,dtheta
Além disso,
raiz9 - u^2 = raiz9 - 9sin^2theta = 3costheta
(considerando costheta>=0 na faixa de interesse).

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral duraiz9 - u^2 = integral 3costheta,dtheta3costheta = integral dtheta = theta + C

Passo 5

Retornando à variável x, temos
theta = arcsin!l(u3r) = arcsin!l(x-13r)
Portanto a solução é
Ij = arcsin!l(x-13r) + C

Resposta

Ij = arcsin!l(x-13r) + C

Exercícios relacionados