Para cada uma das matrizes abaixo, determine se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
E=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\\ 0 & 1 & 0 & 3 \\\ 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e pede para determinar se ela está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida ou em nenhuma das duas.

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada (row echelon form) se satisfizer:
  1. Todas as linhas nulas (se existirem) ficam abaixo das não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula (pivot) é 1.
  3. Cada pivot fica estritamente à direita do pivot da linha anterior.

Passo 3

Na matriz E não há linhas nulas. Os pivots aparecem em
– linha 1, coluna 1;
– linha 2, coluna 2;
– linha 3, coluna 3.
Cada pivot vale 1, e à medida que descemos as linhas, os pivots deslocam-se para a direita. Logo, E satisfaz todas as condições de forma escalonada.

Passo 4

Para estar em forma escalonada reduzida (reduced row echelon form) é preciso, além das condições da forma escalonada, que cada pivot seja o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo de cada pivot).

Passo 5

Em E, cada coluna de pivot (colunas 1, 2 e 3) tem zeros em todas as outras posições. Os pivots são os únicos valores não nulos em suas colunas. Portanto, E também satisfaz a definição de forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz E está em forma escalonada reduzida.

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